[해석학](28)[함수의 수렴]

•∑∞1n2\sum\limits^{\infty}{\frac{1}{n^2}}∑∞​n21​의 값은 무엇인가?sin⁡x=x−x33!+x55!+...\sin{x} = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+...sinx=x−3!x3​+5!x5​+... (테일러급수)⇒sin⁡xx=1−x23!+x45!+...\Rightarrow \frac{\sin{x}}{x} = 1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}+...⇒xsinx​=1−3!x2​+5!x4​+...이때, f(a)=0, f'(a)=0으로 중근을 판정하면-> sin⁡xx\frac{\sin{x}}{x}xsinx​은 증근이 없음 (simple)그리고 sin⁡nπ=0\sin{n\pi} = 0sinnπ=0이므로, 근을 구할 수 있음⇒..

[해석학](27)[함수의 미분]

미분f′(c)=lim⁡x→cf(x)−f(c)x−cf'(c) = \lim\limits_{x \to c}{\frac{f(x)-f(c)}{x-c}}f′(c)=x→clim​x−cf(x)−f(c)​⇔∀ϵ>0, ∃δ>0,\Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \ \exists \delta > 0,⇔∀ϵ>0, ∃δ>0,0∣x−c∣δ⇒∣f(x)−f(c)x−c−f′(c)∣ϵ00∣x−c∣δ⇒∣x−cf(x)−f(c)​−f′(c)∣ϵ성질들f가 미분가능 => f는 연속•ALT(f+g)' = f' + g'(fg)′=f′g+fg′(fg)' = f'g+fg'(fg)′=f′g+fg′(fg)′=f′g+fg′g2(\frac{f}{g})' = \frac{f'g + fg'}{g^2}(gf​)′=g2f′g+fg′​..

Gδ, FσG_{\delta}, \ F_{\sigma}Gδ​, Fσ​ 집합•Gδ=⋂∞OnG_{\delta} = \bigcap\limits^{\infty}{O_n}Gδ​=⋂∞​On​즉, open set의 countable 교집합•Fσ=⋃∞CnF_{\sigma} = \bigcup\limits^{\infty}{C_n}Fσ​=⋃∞​Cn​ 즉, closed set의 countable 합집합-> open: 무한 합집합도 open, closed: 무한 교집합도 closed인데 이건 반대임--> 따라서, open, closed 여부는 모름•(Gδ)C=Fσ(G_{\delta})^C = F_{\sigma}(Gδ​)C=Fσ​•증명) G가 GδG_{\delta}Gδ​일때,G=⋂∞OnG = \bigcap\limits^{\inf..

extreme value theoremf: K→RK \to \mathbb{R}K→R인 연속함수, K는 compact이면∀x∈K, ∃a,b∈K, s.t. f(a)≤f(x)≤f(b)\forall x \in K, \ \exists a, b \in K, \ s.t. \ f(a) \le f(x) \le f(b)∀x∈K, ∃a,b∈K, s.t. f(a)≤f(x)≤f(b)연속함수에서 compact 집합을 보내면 항상 최대, 최소가 compact에 존재•증명)해석개론 24에서 보였듯,f가 conti, K가 compact => f(K)도 compact즉, f(K) = closed + bounded-> bounded이므로, ∃Sup(f(K)), inf(f(K))\exists Sup(f(K)), \ inf(f(K))∃Sup..

FIT (First Isomorphism Theorem)ϕ:G→G′\phi : G \to G'ϕ:G→G′ homomorphism일떄,G/ker⁡ϕ≅Im(ϕ)G / \ker{\phi} \cong Im(\phi)G/kerϕ≅Im(ϕ)증명ϕ:G→G′\phi : G \to G'ϕ:G→G′ 에 대해,ψ:G/K→ϕ(G)\psi: G/K \to \phi(G)ψ:G/K→ϕ(G)을 잡고 (단, K = kerϕker\phikerϕ)ψ(gK)=ϕ(g)\psi (gK) = \phi(g)ψ(gK)=ϕ(g)이게 isom인 것을 보이자!1.ψ\psiψ가 well-defined?aK = bK라 하자.  ⟺  b−1a∈K\iff b^{-1}a \in K⟺b−1a∈KK가 kernel 이므로, ϕ(b−1a)=e′\phi(b^{-1}a) ..

continuousf: A→RA \to \mathbb{R}A→R이고, c∈Ac \in Ac∈A일떄,∀ϵ>0, ∃δ>0, 0∣x−c∣δ and x∈A⇒∣f(x)−f(c)∣ϵ\forall \epsilon > 0, \ \exists \delta >0 ,\ 0∀ϵ>0, ∃δ>0, 0∣x−c∣δ and x∈A⇒∣f(x)−f(c)∣ϵ이면f는 c에서 연속이라 한다이떄, f가 ∀c∈A\forall c \in A∀c∈A에서 연속이면, f는 continuous function⇔∀(xn)⊆A, xn→c\Leftrightarrow \forall (x_n)\subseteq A, \ x_n \to c⇔∀(xn​)⊆A, xn​→c면 f(xn)→f(c)f(x_n) \to f(c)f(xn​)→f(c)ALT for contif, g가 ..

G=Z, N=nZG = \mathbb{Z}, \ N = n\mathbb{Z}G=Z, N=nZ일단, G가 abelian, cyclic이므로1.모든 부분군은 정의에 의해 정규부분군이 된다2.G가 ablian이니까 G/N도 abelian이다3.G가 cyclic이니까 G/N도 cyclic이다실제로 G/N을 봐보면...G/N = {nZn\mathbb{Z}nZ, 1+nZn\mathbb{Z}nZ, 2+nZn\mathbb{Z}nZ, ..., (n-1)+nZn\mathbb{Z}nZ}Z/nZ≃Zn\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \simeq \mathbb{Z}_nZ/nZ≃Zn​자연스럽게~ 함수를 잡아보자~f:Zn→Z/nZf: \mathbb{Z}_n \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}f:Zn​→Z/nZf..

함수의 limitf: $A \to \mathbb{R}$이고, $c \in L(A)$일떄, 일단 c 주변에 다가갈 x가 있어야 하니까... c는 A의 limit point여야 함$\forall \epsilon > 0, \ \exists \delta >0 ,\ 0$\lim\limits_{x \to c}{f(x)} = L$이라 한다 즉, 모든 $\epsilon$에 대해, c 주변의 x에 대하여 f(x)가 L로 수렴하면 f(x)의 limit을 L로 말할 수 있다. 예) f(x) = x 일떄, $\lim\limits_{x\to 1}{f(x)} = 1?$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$인 함수고, $L(\mathbb{R}) = \mathbb{R} \ni 1$$\forall \e..

FIT (First Isomorphism Theorem)$\phi : G \to G'$ homomorphism일떄,$G / \ker{\phi} \cong Im(\phi)$ 자세한 증명은 다음에... 보통 어떤 두 군이 동형임을 밝히고 싶을 떄 사용두 군 사이에 사상을 잡고hom을 보이고단, Im = 목표 군 을 보이기 위해선surjective도 보여야 함quotient랑 Im랑 FIT로 동형이라 함 direct product와 Quoitent의 성질$G_i$가 각각 군이고, $H_i \unlhd G_i$일떄,$(G_1 \times G_2) / (H_1 \times H_2) \cong (G_1/H_1) \times (G_2 / H_2)$f is hom?$f((a_1, a_2))f((b_1, b_2))..

finitely generatedG의 모든 원소를 선형 결합으로 표현할 수 있는 finite subset S가 존재하면G는 finitely generated 될 수 있다고 한다 $\exists S = {x_1,\ x_2,\ ...,\ x_n} \subseteq G$ s.t $\forall g \in G, \ g = a_1x_1 + a_2x_2 +...+a_nx_n$ ($a_i \in \mathbb{Z}$) 예) $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} = {(a, b) \ | \ a,b \in \mathbb{Z}}$ $\Leftrightarrow a(1,0)+b(0,1)$ $\Leftrightarrow \braket..

Natural projection$N \unlhd G, \ \pi : G \to G/N$인 함수 $\pi(g) = gN$즉, 임의의 원소를 몫군으로 보내는 함수이다. $\pi$는 전사 homomormphism이다surjective?일단 임의의 $gN \in G/N$에 대해$\exists g \in gN \subseteq G$ 이므로, 전사함수homomorphism?$\forall a, b \in G$$\pi(a)\pi(b) = aN \cdot bN$$= (ab)N = \pi(ab)$따라서 준동형사상임ker($\pi$) = {$g\in G \ | \ gN = N$} = {$g\in G \ | \ g \in N$} = N simple groupG의 normal subgroup이 $\emptyset$, G밖에..

normal subgroup$N \le G$에 대해, $\forall g \in G, \ gN = Ng$인 N $N\unlhd G$ 특징만약 G가 abelian이라면 모든 subgroup이 normal subgroup당연히 element-wise로 normal subgroup이 됨모든 left coset = right coset임항상 {e}, G $\unlhd$ G즉, 임의의 군엔 normal subgroup이 1개는 존대Z(G) $\unlhd$ G군론 6에서 봤던 군의 중심은 항상 G의 normal subgroup이다Z(G) = {x | $\forall g \in G, \ gx=xg$} = abelian element 정의부터가 normal subgroup임...$[G : H] = 2 \Ri..

product setH, K $\le$ G일때, HK = ${hk \ | \ h \in H, \ k\in K}$HK가 항상 G의 부분군임은 보장되진 않는다예) $G = S_3, \ H = {\iota, (1,2)},\ K = {\iota, (2,3)}$ $|S_3| = 3! = 6$ $HK = \{\iota, (1,2), (2,3), (1,2)(2,3)\}$ by 라그랑주 정리, $4\ |\not \ 6$이므로, HK는 부분군이 아님G가 abelian이라면 항상 KH = HK$|HK| = \frac{|H|\cdot |K|}{|H\bigcap K|}$만약 $H\bigcap K$ = {e} 라면? -> |HK| = |H||K|subgroup 조건에 의해, H, K는 e를 반드시 포..

perfect set$P \subseteq \mathbb{R}$이 closed + no isolated point면 perfect set이다. $\iff$ closed + 모든 집합의 점이 limit point 예) [a, b]는 perfect set이다 limit point of [a, b] = [a, b] 따라서, [a, b]안의 모든 점은 limit point -> perfect set예) {0}은 perfect set이 아니다... 0 = isolated point -> perfect set 아님...예) {0}$\cup {\frac{1}{n}}$은 perfect set이 아니다... 0 = limit point $\forall \frac{1}{n}$ =..

open cover$A \subseteq \bigcup{O_{\alpha}}$인 {$O_n$}인 open set 집합 open set으로만 이루어진 합집합이 집합 A를 포함하는 집합 finite subcover: cover의 원소가 유한개인 cover {$O_1$, $O_2$, ..., $O_n$} open cover의 액기스...-> 같은 집합 A이여도 다양한 open cover, finite subcover의 존재여부 가 존재한다예)[0, 1]의 open cover? {(-1, 2)} (0, 1)의 open cover {$(\frac{1}{n}, 1)$ | $n \in \mathbb{N}$} {(0, 1)} compact의 동치K가 compact $..