[군론](19)[정규부분군 & 몫군]

normal subgroup$N \le G$에 대해, $\forall g \in G, \ gN = Ng$인 N $N\unlhd G$ 특징만약 G가 abelian이라면 모든 subgroup이 normal subgroup당연히 element-wise로 normal subgroup이 됨모든 left coset = right coset임항상 {e}, G $\unlhd$ G즉, 임의의 군엔 normal subgroup이 1개는 존대Z(G) $\unlhd$ G군론 6에서 봤던 군의 중심은 항상 G의 normal subgroup이다Z(G) = {x | $\forall g \in G, \ gx=xg$} = abelian element 정의부터가 normal subgroup임...$[G : H] = 2 \Ri..

[군론](18)[product set & 소수와 군]

product setH, K $\le$ G일때, HK = ${hk \ | \ h \in H, \ k\in K}$HK가 항상 G의 부분군임은 보장되진 않는다예) $G = S_3, \ H = {\iota, (1,2)},\ K = {\iota, (2,3)}$ $|S_3| = 3! = 6$ $HK = \{\iota, (1,2), (2,3), (1,2)(2,3)\}$ by 라그랑주 정리, $4\ |\not \ 6$이므로, HK는 부분군이 아님G가 abelian이라면 항상 KH = HK$|HK| = \frac{|H|\cdot |K|}{|H\bigcap K|}$만약 $H\bigcap K$ = {e} 라면? -> |HK| = |H||K|subgroup 조건에 의해, H, K는 e를 반드시 포..

perfect set$P \subseteq \mathbb{R}$이 closed + no isolated point면 perfect set이다. $\iff$ closed + 모든 집합의 점이 limit point 예) [a, b]는 perfect set이다 limit point of [a, b] = [a, b] 따라서, [a, b]안의 모든 점은 limit point -> perfect set예) {0}은 perfect set이 아니다... 0 = isolated point -> perfect set 아님...예) {0}$\cup {\frac{1}{n}}$은 perfect set이 아니다... 0 = limit point $\forall \frac{1}{n}$ =..

open cover$A \subseteq \bigcup{O_{\alpha}}$인 {$O_n$}인 open set 집합 open set으로만 이루어진 합집합이 집합 A를 포함하는 집합 finite subcover: cover의 원소가 유한개인 cover {$O_1$, $O_2$, ..., $O_n$} open cover의 액기스...-> 같은 집합 A이여도 다양한 open cover, finite subcover의 존재여부 가 존재한다예)[0, 1]의 open cover? {(-1, 2)} (0, 1)의 open cover {$(\frac{1}{n}, 1)$ | $n \in \mathbb{N}$} {(0, 1)} compact의 동치K가 compact $..

축소 컴팩트 정리(Nested Compact Set Property)$K_1 \supseteq K_2 \supseteq ...$일때, non-empty, compact라면 $\bigcap\limits^{\infty}{K_n} \neq \emptyset$증명$a_n \in K$를 뽑아서 $(a_n)$을 만들고,$(a_n) \subseteq K_1$이고, $K_1$은 compact이므로,$\exists (a_{n_k}) \subseteq (a_n), \ a_{n_k} \to L \in K_1$임의의 $K_m$에 대해,$\exists k \ (s.t. n_k \ge m)$이 되고, $K_{n_k} \subseteq K_m$따라서, $a_{n_k}$의 앞의 몇 항을 제외하면,$a_{n_k} \in K_{n..

BW의 역수렴하는 부분수열이 존재 => bounded 원본 BW) 수열이 bounded => 부분수열이 수렴하는 부분수열이 존재 해석학 11 참고 BW의 역 또한 실수 공간에서 참이다증명 (귀류법 사용!)어떤 수열 $a_n$에 대해,모든 부분수열이 수렴하는 부분수열을 가진다 가정하자이때, $a_n$이 bounded가 아니라고 가정하자.새로운 $a_n$의 부분수열 $x_n$을 다음과 같이 잡자 유계가 아니므로 다음과 같이 항을 골라낼 수 있다. |$x_n$| > n 이때, $x_n$또한 수렴하는 부분수열을 가져야 하나,애초에 $x_n$을 잡핬을 때, |$x_n$| > |$x_{n-1}$| 이렇게 잡음따라서, $\lim{x_n} \to \infty$ 이므로 모순-> 따라서, 수렴하는 부..

closure (폐포)A 그 자체와 limit point를 포함하는 집합 $\bar{A} = A \bigcup L(A)$$\bar{A}$는 closed이다.증명)x가 $\bar{A}$의 limit point라고 하자.따라서, $\forall \epsilon >0,$$\exists y \in \bar{A}, \ |y-x|또한 $y \in \bar{A} = A\bigcup L(A)$$\Rightarrow \exists a \in A, \ |a-y| $y \in A$면 a = y로 잡고 $y \in L(A)$면 A의 limit point니까 a가 존재따라서, $|a-x| \le |a-y|+|y-x| 즉, $x \in L(A) \subseteq \bar{A}$-> 모든 limit point가..

open-closed complement어떤 집합 $A \in \mathbb{R}$에 대해,A가 open set $\Rightarrow$ $A^C$는 closed setA가 closed set $\Rightarrow$ $A^C$는 open set증명) open -> 여집합 closedA가 open set 이라고 하자$x \in A^C \Leftrightarrow x \not\in A$x를 $A^C$의 limit point라 할 때,$x \not\in A^C$라 가정하자 $\Leftrightarrow x \in A$A는 open set이므로, $\Leftrightarrow \exists \epsilon > 0, \ V_{\epsilon}(x) \subseteq A$ $\Rightarrow..

ε-neighborhood$a \in \mathbb{R}, \ \epsilon > 0$에 대해, a의 ε-근방은$V_{\epsilon}(a) = {x \in \mathbb{R} \ | \ |x-a| open set$O \subseteq \mathbb{R}$에 대해,$\forall x \in O, \ \exists \epsilon > 0, \ V_{\epsilon}(x) \subseteq O$ 즉, 집합의 모든 점에 대해, 어떤 ε이 존재해 그 ε-근방이 다시 그 집합에 들어가면 열린 집합이다. 예) (a, b)는 열린 집합인가? $\forall x \in (a, b)$애 대해, $\epsilon = \min(x-a, \ b-x)$로 잡자. $V_{\epsilon}(x) = (x-\e..

이전까지는 직접 스레드 만드는 것을 우회하고의심을 피하기 위해 스레드를 잠깐 멈추고 내 페이로드를 실행 후 원복하는 것까지 했다. 근데 이건 의심을 덜을 수는 있지만, 근본적인 해결책은 아니다.악성코드 개발 18에서 사용된 API 함수인 getThreadContext, virtualAllocEx 등을 백신 6의 IAT 백신에 등록하기만 해도 잡힐 것이다. IAT의 동작이전에 IAT가 뭔지는 알아봤는데,IAT를 우회하기 위해 더 자세히 IAT가 dll과 사용된 API를 저장하는 방식을 알아보자..idata ├── IMAGE_IMPORT_DESCRIPTOR ├── DLL 이름 문자열 ├── Import Lookup Table(INT/ILT) ├── Import Address Table(IAT) └── Hin..

지표 (index)[G : H] = 서로 다른 left coset의 수 예) [$\mathbb{Z}$ : $\mathbb{3Z}$] left coset 3$\mathbb{Z}$ = {..., 0, 3, 6, 9, ...} $1+3\mathbb{Z}$ = {..., 1, 4, 7, 10, ...} $2 + 3\mathbb{Z}$ = {..., 2, 5, 8, 11, ...} # of left coset = 3 참고) [$\mathbb{Z}$ : n$\mathbb{Z}$] = n 특징$K \le H \le G$일때, [G : K] = [G : H][H : K]증명라그랑주 정리를 이용하면 쉽게 증명할 수 있다!$H \le G$이므로, |G| = [G : H..

잉여류 (coset)군 G에 대해, $a \in G, \ H \le G$일때, left coset: aH = {ah | h $\in$ H} right coset: Ha = {ha | h $\in$ H} 특징보통 aH $\neq$ Ha단, G가 abelian이라면 성립$ah = ha$aH = H = Ha $\Leftrightarrow a \in H$증명 (=>)aH = H 이고, H는 (sub)group이므로,$e \in H$$\Rightarrow a = ae \in aH = H$증명 ($a\in H$라고 하자.$\forall ah \in aH$ 이고, H는 (sub)group이므로,$\forall a, h \in H, \ ah \in H$ (closure)$\Rightarrow aH \subs..

관계$R \subseteq S \times S$를 집합 S에서의 이진 관계 R라고 한다 동치관계 (equivalent relation)다음과 같은 성질을 만족하는 관계반사 (Reflecivity): $\forall a \in S,$ a~a대칭 (Symmetry): a~b $\Rightarrow$ b~c추이 (Transitivity): a~b & b~c $\Rightarrow$ a~c예) $R = {(a,b) \ | \ a \equiv b \ (mod \ n)}$- 반사 $a \equiv a \ (mod \ n)$ -> aRa- 대칭 $a \equiv b \ (mod \ n)$라고 하자. a = nk + b (단, k는 정수) $\iff$ b = a - nk 따라서, $b ..

동형사상 (isomorphism)= homomorphism + bijective $\phi: G \to G'$인 전단사함수 $\phi$가 존재하고 그 $\phi$는 $\phi(a\star b) = \phi(a)\star' \phi(b)$를 만족할 떄, $G≅G'$ isomorphism임을 증명하는 프로세스적당한 $\phi| G \to G'$를 잡으셈$\phi$가 well-defined임을 보이셈$\forall g \in G, \ \phi(g) \in G'$ 그리고 $\phi(g)$가 유일한가?보통의 내가 생각하는 함수는 이 과정 생략 가능전단사임을 보임단사$\phi(a)=\phi(b) \Rightarrow a = b$전사$\forall g' \in G', \ \exists g \in G ..

부분합 공식(summation by parts)임의의 급수의 합을 다음과 같이 표현할 수 있다.$$\sum^{N}{n=1}{a_nb_n} = a_NB_N - \sum^{N-1}{n=1}{(a_{n+1}- a_n)B_n} \ \ (\text{단, }B_k = \sum^{k}_{n =1}{b_n})$$이때, 급수 $\sum^{\infty}{a_nb_n}$이 수렴하기 위해선, $n \to \infty$에서$a_nB_n$이 수렴해햐 함$\sum^{N-1}{n=1}{(a{n+1}- a_n)B_n}$이 수렴해야 함따라서 이걸 만족하게 하는 판정법을 만들 수 있다. 아벨 판정법 (abel's test)$\sum{b_n}$이 수렴하고, $(a_n)$이 monotone & bounded라면 $\sum{a_nb_n}$은 ..