[해석학](19)[compact & heine-borel]

 

BW의 역

수렴하는 부분수열이 존재 => bounded
    원본 BW) 수열이 bounded => 부분수열이 수렴하는 부분수열이 존재
    해석학 11 참고

 

BW의 역 또한 실수 공간에서 참이다

• 증명 (귀류법 사용!)
  어떤 수열 $a_n$에 대해,
  모든 부분수열이 수렴하는 부분수열을 가진다 가정하자
  이때, $a_n$이 bounded가 아니라고 가정하자.
  
  새로운 $a_n$의 부분수열 $x_n$을 다음과 같이 잡자
      유계가 아니므로 다음과 같이 항을 골라낼 수 있다.
      |$x_n$| > n
  이때, $x_n$또한 수렴하는 부분수열을 가져야 하나,
  애초에 $x_n$을 잡핬을 때, |$x_n$| > |$x_{n-1}$| 이렇게 잡음
  따라서, $\lim{x_n} \to \infty$ 이므로 모순
  -> 따라서, 수렴하는 부분수열은 bounded

 

compact

$K \subseteq \mathbb{R}$에 대해,
$\forall a_n \subseteq K, \ \exists(a_{n_k}) \subseteq a_n$ & $(a_{n_k}) \to k \in K$
    즉, K의 모든 수열에 대해, 그 수열의 부분수열이 K 안의 원소로 수렴하면
    K는 compact라 한다.

 

heien-borel 정리

compact = closed + bounded

• 증명) compact => closed
  집합 K가 compact라고 하자.
  $x \in L(K)$라고 한다면, 동치조건에 의해,
      $\Rightarrow \exists a_n \in K, \ a_n \neq x, \ a_n \to x$
  K가 compact이므로,
      K의 부분수열 $a_n$은 $a_{n_k} \to L \in K$인 부분수열을 가진다.
  부분수열의 극한 = 원래 수열의 극한
  $\Rightarrow a_n \to x = L \in K$
  즉, $x \in K$
  -> 따라서 $x \in L(K) \Rightarrow x \in K$이므로, closed
• 증명) compact => bounded
  귀류법을 사용해보자...
  집합 K가 compact라고 하고, K가 bounded가 아니라 가정하자.
  $\Rightarrow \forall n \in \mathbb{N}, \ \exists a_n \in K, \ |a_n|>n$ ($a_n$이 발산)
  but, K is compact
      따라서 $\forall a_n$에 대해, $a_{n_k} \to L \in K$인 부분수열이 존재해야 함
      그러나 부분수열이 수렴 $\Rightarrow$ bounded
  -> 모순
  따라서, K는 bounded이다.
  
  
• 증명) compact <= closed + bounded
  집합 K가 closed & bounded라고 하자.
  $(a_n) \subseteq K$인 임의의 수열 $a_n$를 잡을 수 있다.
      이떄, K가 bounded이므로, $a_n$도 bounded
  BW에 의해, $\exists (a_{n_k}) \subseteq (a_n), \ a_{n_k} \to L$
  만약 $L \not\in K$라면,
      $L \in K^C$이며, $K^C$는 open set이다.
      $\Rightarrow \exists \epsilon > 0, \ V_{\epsilon}(L) \subseteq K^C$
      그러나, 극한의 정의에 의해,
      $\forall \epsilon > 0, \ \exists n \ge N, \ |a_N - L| < \epsilon$
      따라서, $n_k > N$으로 잡으면, $a_N \in V_{\epsilon}(L) \subseteq K^C$
      -> 그러나, $a_n$은 K의 원소로만 잡았으므로, 모순
  -> 따라서, $L \in K$여야 한다.
  따라서 K는 compact이다.

 

compact의 성질

K가 compact일때,
$F \subseteq K$가 closed 라면 F는 compact

• 증명
  이미 K에사 bounded는 유전받음
       $\forall k \in K, \ |k| < M$
       $\Rightarrow \forall f \in F \subseteq K, \ |f| < M$
  가정에 의해 F가 closed
  by heine-borel,
  closed + bounded이므로, F는 compact

compact의 유한번 합집합은 compact

• 증명
  bounded의 유한번 union 또한 bounded
      bounded인 $A_1,\ A_2,\ ... , \ A_n$에 대해,
      $\forall a_1 \in A_1, \ |a_1| < M_1$
      $\forall a_2 \in A_2, \ |a_2| < M_2$
      ....
      $\forall s \in \bigcup{A_i}, \ |k| < \max(M_1, \ M_2, \ ..., \ M_n)$
  또한 해석학 16에서 봤듯,
  유한번의 union은 closed에 영향 안 미침
  -> close + bounded => compact

compact $\cap$ closed = compact

• 증명
  compact set = K, closed set = F라 할 때,
  closed?
      compact => closed
      & closed의 교집합은 closed에 영향 X
      -> closed
  bounded?
      K $\cap$ F $\subseteq K$
          $\forall k \in K\cap F \Rightarrow k \in K$
      K는 compact => bounded
          $\forall k \in K, \ |k| \le \exists M$
      따라서, $\forall k \in K\cap F, \ |k| \le M$
      -> bounded
  -> closed + bounded => compact