[해석학](15)[부분합 공식 & 발산 판정법 3 & 재배열]

부분합 공식(summation by parts)

임의의 급수의 합을 다음과 같이 표현할 수 있다.
$$\sum^{N}{n=1}{a_nb_n} = a_NB_N - \sum^{N-1}{n=1}{(a_{n+1}- a_n)B_n} \ \ (\text{단, }B_k = \sum^{k}_{n =1}{b_n})$$
이때, 급수 $\sum^{\infty}{a_nb_n}$이 수렴하기 위해선, $n \to \infty$에서

1. $a_nB_n$이 수렴해햐 함
2. $\sum^{N-1}{n=1}{(a{n+1}- a_n)B_n}$이 수렴해야 함

따라서 이걸 만족하게 하는 판정법을 만들 수 있다.

 

아벨 판정법 (abel's test)

$\sum{b_n}$이 수렴하고, $(a_n)$이 monotone & bounded라면 $\sum{a_nb_n}$은 수렴
    $\sum{b_n}$에 깐깐한 테스트

• 증명
  부분합 공식에서,
  • 첫번째 항
    $\sum{b_n}$이 수렴하므로, $B_N$도 수렴하겠고
    $a_n$도 유계 단조수열이므로, MCT에 의해 어떤 값으로 수렴한다.
    -> 따라서 $a_NB_N$은 수렴
  • 두번째 항
    $\sum{|(a_{k+1}- a_k)B_k|} = \sum{|B_k||a_{k}-a_{k+1}|}$
    이떄, $\sum{b_n} \le M$ (bounded), $a_{k+1} - a_k > 0$ (decresing)이므로,
    $\le M(a_k - a_{k+1})$
    $\sum{|(a_{k+1}- a_k)B_k|}\le M(a_k - a_{k+1}) = M(a_1 - a_n)$
    $a_n$이 monotone & bounded이므로, MCT에 의해, 수렴한다.
    $a_n \to L$이므로, = $M(a_1 - a_n) = M(a_1-L)$
    즉, 비교판정법에 의해, 두번쨰 항은 수렴한다

        따라서 두 항이 수렴하므로
        $\sum{a_nb_n}$은 수렴한다.

 

디리클레 판정법 (dirichlet's test)

$\sum{b_n}$이 bounded이고, $(a_n)$이 monotonaly decreasing to 0이라면 $\sum{a_nb_n}$은 수렴
    $(a_n)$에 깐깐한 테스트

• 증명
  부분합 공식에서,
  • 첫번째 항
    $a_n \to 0$이므로, $a_NB_N \to 0$로 사라진다
    0으로 수렴
  • 두번째 항
    $\sum{|(a_{k+1}- a_k)B_k|} = \sum{|B_k||a_{k}-a_{k+1}|}$
    이떄, $\sum{b_n} \le M$ (bounded), $a_{k+1} - a_k > 0$ (decresing)이므로,
    $\le M(a_k - a_{k+1})$
    $\sum{|(a_{k+1}- a_k)B_k|}\le M(a_k - a_{k+1}) = M(a_1 - a_n)$
    $a_n \to 0$이므로, = M$a_1$
    즉, 비교판정법에 의해, 두번쨰 항은 수렴한다

        따라서 두 항이 수렴하므로
        $\sum{a_nb_n}$은 수렴한다.

 

예) $\sum{\frac{(-1)^{n+1}}{n}}$
    디리클레 판정법을 사용하면,
    $a_n = \frac{1}{n}, \ \sum{b_n} = \sum{(-1)^{n+1}}$으로 두면
    1. $a_n = \frac{1}{n} \to 0$ 이고, monotone하게 감소함
    2. $\sum{(-1)^{n+1}} = 1,\ 0,\ 1,\ 0,\ ...$이므로, bounded
    -> 따라서, $\sum{a_nb_n} = \sum{\frac{(-1)^{n+1}}{n}}$은 수렴

 

예) $\sum{\frac{\sin{n}}{n}}$
    $a_n = \frac{1}{n}$, $\sum{b_n} = \sum{\sin{n}}$으로 두면,
    1. $a_n = \frac{1}{n} \to 0$ 이고, monotone하게 감소함
    2. $\sum{\sin{n}}$은 bounded
    -> 디리클레 판정법에 의해, $\sum{\frac{\sin{n}}{n}}$은 수렴

 

• 참고) $\sum{\sin{n}}$이 bounded인지 어케암?
  오일러 공식 $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$에 급수를 취하면,
  $\sum e^{ik} = \sum(\cos k + i \sin k) = \left( \sum \cos k \right) + i \left( \sum \sin k \right)$
  즉, 식의 허수부가 $\sum{\sin{n}}$
  $\sum e^{ik}$은 공비가 $e^i$인 공비수열이므로,
  $S_n = \frac{e^i(1-e^{in})}{1-e^i}$의 허수부가 유계임을 보이자!
  
  $|S_n| = |\frac{e^i(1-e^{in})}{1-e^i}| \le \frac{e^i(|1|+|-e^{in}|)}{|1-e^i|} = \frac{2}{|1-e^i|}$
  다시 오일러 공식을 쓰면, $1 - e^i = 1 - (\cos 1 + i \sin 1) = (1 - \cos 1) - i \sin 1$
  이제 복소수의 크기를 구하면, $|1 - e^i| = \sqrt{(1 - \cos 1)^2 + (-\sin 1)^2} = \sqrt{2 - 2\cos{1}}$
  즉, $|S_n| \le \frac{2}{\sqrt{2 - 2\cos{1}}}$이고
  허수부의 크기 < 복소수의 크기 이므로,
  $\sum{\sin{n}} \le \frac{2}{\sqrt{2 - 2\cos{1}}}$이므로, bounded

 

재배열 (rearrangement)

임의의 급수 $\sum{a_n}$에 대해,

• $\sum{a_n}$가 절대수렴하면, 모든 재배열은 같은 수렴값을 갖는다
• $\sum{a_n}$가 조건부수렴하면, 임의의 실수 R로 수렴한다
  즉, 수렴하긴 하는데...
  순서에 따라 수렴값이 중구난방으로 달라진다.
  • 양의 부분: $+\infty$
  • 음의 부분: $-\infty$

        -> 얘네들을 잘 더하면, 임의의 실수를 만들기 가능

 

예) $\sum{\frac{(-1)^{n+1}}{n}}$
    아까 디리클레 판정법에 의해 수렴하는 건 증명됨
    일반 순서: $\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... = \ln{2}$
        매클로린 급수 사용하면 됨
        $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots \quad (-1 < x \le 1)$
    그러나, 만약 다른 순서로 더하면?
    예를 들어 1.5를 만들고 싶다면
        1. 목표 숫자 1.5를 넘을 때 까지 양수 부분에서 더함
        2. 1.5를 넘긴 상황에서 음수 부분에서 더함
        3. 이걸 무한히 반복하면 1.5가 나옴