[군론](17)[지표 & 라그랑주 정리]

 

지표 (index)

[G : H] = 서로 다른 left coset의 수

 

예) [$\mathbb{Z}$ : $\mathbb{3Z}$]
    left coset
        3$\mathbb{Z}$ = {..., 0, 3, 6, 9, ...}
        $1+3\mathbb{Z}$ = {..., 1, 4, 7, 10, ...}
        $2 + 3\mathbb{Z}$ = {..., 2, 5, 8, 11, ...}
    # of left coset = 3
    참고) [$\mathbb{Z}$ : n$\mathbb{Z}$] = n

 

특징

$K \le H \le G$일때, [G : K] = [G : H][H : K]

• 증명
  라그랑주 정리를 이용하면 쉽게 증명할 수 있다!
  $H \le G$이므로, |G| = [G : H]|H|
  $K \le H$이므로, |H| = [H : K]|K|
  -> $K \le H$이므로,
       |G| = \[G : K]|K|
       = \[G : H]\[H : K]|K|
       = \[G : K]|K|
  따라서, [G : K] = [G : H][H : K]

[G : H] = 2이면, aH = Ha

• 증명
  지수의 정의에 의해, H가 G를 2개의 분할로 나눈다는 건 자명
       G = H + aH
  (right coset의 수 = left coset의 수 = 2)
       G = H + Ha
  이때, aH $\neq$ H , Ha $\neq$ H이므로,
  aH = Ha

예) $[S_n \ : \ A_n]$ = 2
    $A_n$ = {짝치환}
    $\sigma A_n$ = {홀치환}
    $S_n =$ {짝치환} + {홀치환}
    $S_n$의 원소는 짝치환 아니면 홀치환에 속한다
    -> index = 2
예) $[D_n \ : \ \braket{r}]$ = 2
    $\braket{r} = {r,\ r^2,\ r^3,\ ...}$
    $s\braket{r} = {sr,\ sr^2,\ sr^3,\ ...}$
    $D_n = {s^ir^j \ | \ 0\le i \le 1, \ 0\le j \le n-1}$ 이므로,
    -> index = 2
예) $[\mathbb{Z} \ : \ n\mathbb{Z}]$ = n

 

참고) 모든 coset을 찾고 싶으면
    주어진 H에 없는 걸 곱해 새로운 aH 만들기
    H, aH에 없는 걸 곱해서 a'H 만들기
    반복...

 

라그랑주 정리 (Lagrange's theorem)

G가 유한 군이고, $H\le G$일때,

• |H| | |G| 이고
• |G| = [G : H]|H|이다.

대우: $|H| \ |\not \ |G| \Rightarrow H \not\le G$

 

역: $|H| \ | \ |G| \Rightarrow H \le G$ <- 아님
    나눠진다고 해서 해당 위수의 부분군이 있다는 걸 보장 못함

 

예) $A_4$
    $|A_4| = \frac{4!}{2} = 12$
    12의 약수 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
    그러나, 위수가 6인 부분군은 없음

 

• 증명
  G는 군이고, $H\le G$일때,
  index [G : H] = n이라 하자.
  $\Leftrightarrow \exists a_1, \ a_2, \ ..., \ a_{n-1}, \ G = H\bigcup a_1H \bigcup a_2H\bigcup ... \bigcup a_{n-1}H$
  이때, coset은 서로 disjoint set이므로, (군론 16 참고)
  |G| = |H| + |$a_1$H| + ... + |$a_{n-1}$H|
       |coset of H| = |H|이므로, (군론 16 참고)
       = |H| + |H| + ... + |H|
  = n|H|
  = [G : H]|H|

 

$a\in G$, |a| | |G|이다.

G가 유한군일 때, 군의 원소의 위수는 군의 위수를 나눈다

• 증명
  $\forall a \in G, \ \braket{a} \le G$임은 예전에 보임
  또한, |순환군의 위수| = |생성자의 위수| 이므로,
  따라서, 라그랑주 정리에 의해, $|\braket{a}| = |a| \ | \ |G|$

참고) 군의 위수만큼 연산하면 항상 e가 된다
    $a^{|G|} = a^{nk} = (a^{n})^k = e^k = e$

 

소수 p의 order을 가진 군

모든 소수 p의 위수를 가진 군은 cyclic이며, $\mathbb{Z}_p$와 동형이다.

• 증명 (cyclic)
  |G| = p $\ge$ 2이므로, e가 아닌 원소 a가 존재한다.
  $a \in G\backslash{e}$, |G| = p (p = 소수)라고 하자.
  라그랑주 정리에 의해, |a| | |G| = p
  그러나, p는 소수이므로,
       |a| = 1 or p
  a는 e가 아니므로, |a| > 1
  $\Rightarrow |a| = p$
  따라서, a는 G를 생성할 수 있다
• 증명 ($\simeq \mathbb{Z}_p$)
  앞선 증명에서 $\braket{a} = G$이었다.
  함수 f: $\mathbb{Z}_p \to G$를 정의하자
       f(k (mod p)) = $a^k$
  
  1. 단사?
     $\forall b, c \in \mathbb{Z}_p$에 대해, f(b) = f(c)가 같다 하자.
     $a^{b} = a^{c}$$\Rightarrow a^{b-c} = e$
     이때, b-c는 p의 배수이다.
         $b-c \equiv 0 \ (mod \ p)$
     $\Rightarrow b \equiv c \ (mod \ p)$
  2. 전사?
     $\forall g = a^k \in G,$
     $\exists k \in \mathbb{Z}_p$이므로 f(k) = g
  3. homo?
     f(x + y) = $a^{x+y} = a^xa^y =$ f(x)f(y)
     $G \simeq \mathbb{Z}_p$

참고) 소수 위수를 가진 군은 유일하다 ($\mathbb{Z}_p$)