[군론](16)[잉여류]

 

잉여류 (coset)

군 G에 대해, $a \in G, \ H \le G$일때,
    left coset: aH = {ah | h $\in$ H}
    right coset: Ha = {ha | h $\in$ H}

 

특징

1. 보통 aH $\neq$ Ha
   단, G가 abelian이라면 성립
   $ah = ha$
2. aH = H = Ha $\Leftrightarrow a \in H$

• 증명 (=>)
  aH = H 이고, H는 (sub)group이므로,
  $e \in H$
  $\Rightarrow a = ae \in aH = H$
• 증명 (<=)
  $a\in H$라고 하자.
  $\forall ah \in aH$ 이고, H는 (sub)group이므로,
  $\forall a, h \in H, \ ah \in H$ (closure)
  $\Rightarrow aH \subseteq H$
  
  $\forall h \in H$에 대해, h = $a(a^{-1}h)$로 나타낼 수 있음.
  H는 (sub)group이므로, by closure,
  $a^{-1}, h \in H, \ a^{-1}h \in H$
  따라서, $h = ah' \in aH$
  $\Rightarrow H \subseteq aH$
  -> 따라서, aH = H이다.
       (H=Ha에 대해서도 동일하게 밝히면 됨)

3. |aH| = |Ha| = |H|

• 증명
  f: H -> aH인 함수 f를 잡아보자.
  f(h) = ah
  1. surjective?
     aH의 정의에 의해, f는 전사함수
  2. injective?
     $\forall h_1, \ h_2 \in H$에 대해,
     $ah_1 = ah_2$라고 하면,
     $\Rightarrow a^{-1}ah_1 = a^{-1}ah_2 \Rightarrow h_1 = h_2$
     따라서 단사함수
  -> 즉, H -> aH인 전단사함수가 존재하므로,
  |H| = |aH|
       (|H| = |Ha|인 경우도 동일하게 증명)

4. H에 대해, left coset의 수 = right coset의 수

• 증명
  L = left coset의 집합, R = right coset의 집합이라 하자
  f: L -> R로 함수를 잡아보자.
  1. well-defined?
  2. injective?
     aH = bH $\Leftrightarrow a^{-1}b \in H$
     H는 군이므로, 역원 존재
     $\Leftrightarrow (a^{-1}b)^{-1} = b^{-1}a \in H$
     $\Rightarrow Ha^{-1} = Hb^{-1}$
  3. surjective?
  -> f는 일대일대응
  따라서 left coset의 수 = right coset의 수

 

$aH=bH \Leftrightarrow a\in bH \Leftrightarrow b^{-1}a \in H$

다음 3개의 명제는 동치명제이다

1. aH=bH
2. $a\in bH$
3. $b^{-1}a \in H$

• 증명 (1 => 2)
  $aH = bH$
  $\Leftrightarrow h_1, h_2 \in H, \ ah_1 = bh_2$
  $\Rightarrow a = bh_2h_1^{-1}$
  H는 (sub)group이므로, by closure,
  $h' = h_2h_1^{-1} \in H$
  따라서, a = bh' $\in bH$
• 증명 (2 => 3)
  $a\in bH$
  $\Rightarrow \exists h \in H, \ a = bh$
  $\Rightarrow b^{-1}a = h\in H$
• 증명 (3 => 1)
  $b^{-1}a \in H \Leftrightarrow b^{-1}a = h \in H$
  $\forall ah_1 \in aH, \ ah_1 = (bh)h_1 = b(hh_1) \in bH$
       -> $aH \subseteq bH$
  $\forall bh_2 \in bH, \ bh_2 = (ah^{-1})h_2 = a(h^{-1}h_2) \in aH$
       -> $bH \subseteq aH$
  따라서, aH = bH

 

coset으로 관계 만들기

군 G에 대해, $H \le G$일때, $\forall a, b \in G,$
$a\sim_L b \iff a^{-1}b \in H$
    left coset으로 관계 만들기

 

이때, $\sim_L$은 동치관계이다

• 반사 <- 항등원을 이용!
  $\forall a \in G, \ a\sim_L a$
  $\iff a^{-1}a = e \in H$
• 대칭 <- 역원을 이용!
  $\forall a, b \in G, \ a\sim_Lb$라고 하자.
  $\Leftrightarrow a^{-1}b \in H$
  H은 군이므로, 역원이 존재
  $\Rightarrow (a^{-1}b)^{-1} = b^{-1}a \in H$
  $\Leftrightarrow b\sim_La$
• 추이 <- closure을 이용!
  $\forall a, b,c \in G, \ a\sim_Lb, \ b\sim_L c$ 라고 하자.
  $\Leftrightarrow a^{-1}b \in H, \ b^{-1}c \in H$
  H는 군이므로, by closure,
  $\Rightarrow (a^{-1}b)(b^{-1}c) = a^{-1}(bb^{-1})c = a^{-1}c \in H$
  $\Leftrightarrow a\sim_Lc$

-> 즉, 부분군 판정을 통과하지 못하면...
    coset으로 만든 관계는 동치관계가 아니며...
    이것으로 분할도 못 만든다.

 

-> coset으로 군 G를 분할할 수 있다