[해석학](18)[closure-interior-boundary]

 

closure (폐포)

A 그 자체와 limit point를 포함하는 집합
    $\bar{A} = A \bigcup L(A)$

1. $\bar{A}$는 closed이다.

• 증명)
  x가 $\bar{A}$의 limit point라고 하자.
  따라서, $\forall \epsilon >0,$
  $\exists y \in \bar{A}, \ |y-x|<\frac{\epsilon}{2}$
  
  또한 $y \in \bar{A} = A\bigcup L(A)$
  $\Rightarrow \exists a \in A, \ |a-y| < \frac{\epsilon}{2}$
      $y \in A$면 a = y로 잡고
      $y \in L(A)$면 A의 limit point니까 a가 존재
  
  따라서, $|a-x| \le |a-y|+|y-x| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$
  즉, $x \in L(A) \subseteq \bar{A}$
  -> 모든 limit point가 자기 자신에게 포함되므로, $\bar{A}$는 closed
  
  

2. $\bar{A}$는 A를 포함하는 집합 중 가장 작은 닫힌 집합이다.

• 증명) A를 포함하는 닫힌 집합이 $\bar{A}$가 포함되는지 보면 됨
  임의의 집합 F가 A를 포함하는 닫힌 집합이라 가정히자.
      $A \subseteq F$
  
  A의 임의의 limit point x에 대해,
  $x \in L(A) \iff (V_{\epsilon}\setminus {x} \bigcap A) \neq \emptyset$
  $\Rightarrow V_{\epsilon}\setminus {x} \bigcap F) \neq \emptyset$
  따라서, $x \in L(F)$
  즉, $L(A) \subseteq L(F)$이며, F는 닫힌 집합이므로,
      $L(A) \subseteq L(F) \subseteq F$
  
  따라서, $\bar{A} = A\bigcup L(A) \subseteq F$
  즉, 임의의 A를 포함하는 닫힌 집합은 $\bar{A}$를 포함한다
  -> $\bar{A}$는 A를 포함하는 가장 작은 닫힌 집합이다
  

3. $x \in \bar{A} \iff \exists (a_n)\in A \text{ and } a_n \to x$
   즉, A 안에 어떤 수열이 존재해 폐포의 원소로 수렴한다

예)
    (0,1) 의 closure = [0, 1]
    $\mathbb{Q}$의 closure = $\mathbb{R}$
    {$\frac{1}{n}$ | $n \in \mathbb{N}$}의 closure = {$\frac{1}{n}$ | $n \in \mathbb{N}$}$\bigcup${0}
    $\mathbb{Z}$의 closure = $\mathbb{Z}$
    $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$의 closure = $\mathbb{R}$

 

Interior (내부)

closure의 open set 버전
근방이 A 안에 들어가는 A의 원소의 집합
    $A^\circ = {x \in A \ | \ \exists \epsilon > 0 , \ V_{\epsilon}(x)\subseteq A}$

1. $A^{\circ}$는 open set이다

• 증명)
  $A^{\circ}$의 정의에 의해 open set임은 자명함
  
  

2. $A^{\circ}$는 A에 포함되는 가장 큰 open set이다

• 증명) 모든 open set을 $A^{\circ}$가 포함하는지 보면 됨
  임의의 집합 $F \subseteq \mathbb{R}$가 A에 포함되는 open set이라 가정하자.
      $F \subseteq A$
  F가 opened $\Leftrightarrow$ $\forall x \in F, \ \exists \epsilon > 0, \ V_{\epsilon}(x) \subseteq F$
  $\Rightarrow V_{\epsilon}(x) \subseteq F \subseteq A$
  따라서, interior의 정의에 의해
  $F \subseteq A^{\circ}$
  -> $A^{\circ}$는 A에 포함되는 열린 집합 중 가장 작은 집합

 

boundary (경계)

근방이 A나 $A^C$에 둘 다 속하는 점의 집합
    $\partial A = \bar{A}\backslash A^{\circ}$
    $\Leftrightarrow {x \ | \ \forall \epsilon > 0, \ V_{\epsilon}(x)\cap A \neq \emptyset, \ V_{\epsilon}(x)\cap A^{C} \neq \emptyset}$

예)

집합	limit point	open/closed/?	$\bar{A}$	$A^{\circ}$	$\partial A$
(0, 1)	[0, 1]	open	[0, 1]	(0, 1)	{0, 1}
[0, 1]	[0, 1]	closed	[0, 1]	(0, 1)	{0, 1}
$\mathbb{Q}$	$\mathbb{R}$	?	$\mathbb{R}$	$\emptyset$	$\mathbb{R}$

 

참고)
    open set은 interior로만 이루어진 집합
    closed set은 boundary를 포함하는 집합