[군론](18)[product set & 소수와 군]

 

product set

H, K $\le$ G일때, HK = ${hk \ | \ h \in H, \ k\in K}$

• HK가 항상 G의 부분군임은 보장되진 않는다
  예) $G = S_3, \ H = {\iota, (1,2)},\ K = {\iota, (2,3)}$
       $|S_3| = 3! = 6$
       $HK = \{\iota, (1,2), (2,3), (1,2)(2,3)\}$
       by 라그랑주 정리, $4\  |\not \ 6$이므로, HK는 부분군이 아님
• G가 abelian이라면 항상 KH = HK

$|HK| = \frac{|H|\cdot |K|}{|H\bigcap K|}$

만약 $H\bigcap K$ = {e} 라면? -> |HK| = |H||K|
subgroup 조건에 의해, H, K는 e를 반드시 포함해야 함

• 증명
  HK의 원소 중 같은 값이지만 다르게 표현될 수 있는 것이 있다
      예) 6 = 2 x 3 = 1 x 6
  따라서, 이런 중복 case를 제거해야 한다.
  
  중복 케이스를 $h_1k_1 = h_2k_2$라고 하자.
  $\iff h_2^{-1}h_1 = l_2k_1^{-1} = d$라고 하자
  by closure, $d \in H, \ d \in K$
  $\Rightarrow d \in H\bigcap K$
  
  정의에 의해, $(h_2, k_2) = (h_1d, d^{-1}k_1)$이다.
      $h_1k_1 = h_1(d d^{-1})k_1$
  즉, 임의의 $H\bigcap K$의 원소 d에 대해 성립한다
  -> 중복을 만들 수 있는 원소 수 = $|H\bigcap K|$
  따라서, 나눠서 중복을 제거하면, $|HK| = \frac{|H|\cdot |K|}{|H\bigcap K|}$

 

$HK \le G \iff KH=HK$

• (=>) 증명
  $H,K \le G \Rightarrow$ H, K는 군
  $h\in H, \ k\in K$에 대해, $x \in HK$라 하자.
  이떄, 전제에 의해, HK는 군이므로, x의 유일한 역원을 갖는다
       $x^{-1} = hk \in HK$
  K는 군이므로, 유일한 역원을 가짐
       $\exists h' = h^{-1} \in H, \ \exists k' = k^{-1} \in K$
  $(x^{-1})^{-1} = x = k^{-1}h^{-1} = k'h' \in KH$
  따라서, $x \in HK \Rightarrow x \in KH$이므로,
  $HK \subseteq KH$
  반대도 동일하게 증명하면 $KH \subseteq HK$
  -> HK = KH
• (<=) 증명
  HK가 부분군 판정을 만족하는지 보면 됨
  1. non-empty?
     $e \in H, K$
     $\Rightarrow e\cdot e = e \in HK$
     $HK \neq \emptyset$
  2. closure?
     $\forall h_1k_1, h_2k_2 \in HK,$
     $(h_1k_1)(h_2k_2) = h_1(k_1h_2)k_2$
     이떄, HK = KH이므로,
         $h'k' = k_1h_2$인 $h'k' \in HK$가 존재
     $\Rightarrow h_1h'k'k_2 = (h_1h')(k'k_2) \in HK$
  3. inverse?
     $\forall hk \in HK,$
     $(hk)^{-1} = k^{-1}h^{-1} \in KH = HK$
  -> 따라서, $HK \le G$

 

half-group partition

군 G에 정확히 2개의 left coset (or right coset)이 있는 경우 index가 2이다
    정의에 의해 당연함
즉, 군이 $G = H \bigcup (G\backslash H) = H \bigcup H^C$

 

$[G:H]=2 \Rightarrow \forall g \in G, \ gH=Hg$

즉, 잉여류가 2개밖에 없다면, right coset = left coset이다
-> 즉, 정규부분군이라는 소리다...

• 증명
  $g \in H$라면...
       $gH = Hg = H$ 이므로 완료
  $g \in G\backslash H$라면?
       좌잉여류 = $G\backslash H$
       우잉여류 = $G\backslash H$
       따라서, gH = Hg

 

소수와 군

cauchy theorem

order가 2p인 군은 항상 |a| = p인 원소를 포함한다

1. |a| = p
2. $|\braket{a}| = p \Rightarrow [G:\braket{a}] = 2$
3. $\braket{a}$는 대칭 분할 (left = right coset)

 

sylow theorem

위수가 2p인 군은
    cyclic group $\mathbb{Z}_{2p}$
    dihedral group $D_p$
와 isomorphic하다

 

페르마의 소정리의 증명

$a^{\phi(n)} \equiv 1 \ (\mod \ n)$
정수론 7에서 증명한 방법도 있지만, 군론으로도 증명 가능하다

group of units

U($\mathbb{Z}n$) = {$k \in \mathbb{Z} \ | \ k<n, \ \gcd(k, n) = 1$}
예) U($\mathbb{Z}{10}$) = U({0, 1, ..., 9}) = {1, 3, 7, 9} <- 10과 서로소

• order = $\phi(n)$
  
  
• 증명
  gcd(a, n) = 1이고, $a \in \mathbb{Z}_n$인 a를 잡자.
  group of units의 정의에 의해, $a \in U(\mathbb{Z}_n)$
  $\Rightarrow a^{|U(\mathbb{Z}_n)|} = e$ (라그랑주 정리의 따름 정리 이용)
  $\Rightarrow a^{\phi(n)} = 1 \in \mathbb{Z}_n$
  $\Rightarrow a^{\phi(n)} \equiv 1 \ (mod \ n)$

페르마 소정리의 특이 케이스인 오일러 공식도
$\phi(p) = p-1$임을 이용하면 됨