[군론](14)[동형사상]

 

동형사상 (isomorphism)

= homomorphism + bijective
    $\phi: G \to G'$인 전단사함수 $\phi$가 존재하고
    그 $\phi$는 $\phi(a\star b) = \phi(a)\star' \phi(b)$를 만족할 떄,
    $G≅G'$

 

isomorphism임을 증명하는 프로세스

1. 적당한 $\phi| G \to G'$를 잡으셈
2. $\phi$가 well-defined임을 보이셈
   $\forall g \in G, \ \phi(g) \in G'$ 그리고 $\phi(g)$가 유일한가?
   보통의 내가 생각하는 함수는 이 과정 생략 가능
3. 전단사임을 보임
   • 단사
     $\phi(a)=\phi(b) \Rightarrow a = b$
   • 전사
     $\forall g' \in G', \ \exists g \in G \ s.t. \ \phi(g) = g'$
4. homomorphism인지 확인
   $\phi(ab) = \phi(a)\phi(b)$

예) $\phi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+, \ \phi(x) = e^x$를 통해 $\braket{\mathbb{R}, +}, \ \braket{\mathbb{R}^+, \cdot}$이 isom인지 보이시오

1. well-defined?
   $e^x>0$이므로, $\mathbb{R}^+$ 안에 $\phi(x)$가 들어있으며
   $e^x$는 연산의 결과가 unique하므로 well-defined
2. 단사?
   $\forall a, b \in \mathbb{R}, \ \phi(a) = \phi(b)$라고 하면
   $e^a = e^b \Rightarrow a = b$
   -> 단사임
3. 전사?
   $\forall a \in \mathbb{R}^+, \ \exists b = \log a$이어서
   $\phi(b) = e^{\log a} = a$
   -> 전사임

-> 따라서 bijective
   4. homo?
      $\forall a, b \in \mathbb{R}, \ \phi(a+b) = e^{a+b} = e^a\cdot e^b = \phi(a)\cdot\phi(b)$
      -> homomorphism
따라서 두 군은 isomorphism이다.

 

순환군과 동형사상

모든 무한위수 순환군은 $\mathbb{Z}$와 동형이다

• 증명
  G = $\braket{a}$라 하고 $|G| = \infty$라 하자.
       $\Rightarrow a^k = e \text{인 k는 정수에 존재하지 않음}$
  $\phi: \mathbb{Z} \to G$인 $\phi(k) = a^k$ 함수를 잡아보자.
  1. $a^k$는 well-defined
  2. 전사?
     $G = {a^k \ | \ k \in \mathbb{Z}}$이므로,
     $\forall a^g \in G$에 대해, $\exists g \in \mathbb{Z}$가 존재하여
     $\phi(g) = a^g$
     -> 전사
  3. 단사?
     $\forall m,n$에 대해,
     $\phi(m) = \phi(n) \Rightarrow a^m = a^n$
     $\Rightarrow a^{m-n} = e$
     그러나, $|G| = \infty$이므로, m = n
     -> 단사
  4. homo?
     $\phi(m+n) = a^{m+n} = a^m \cdot a^n = \phi(m)\cdot \phi(n)$
  -> 따라서 $\braket{\mathbb{Z}, +} \cong \braket{G, \cdot}$

 

모든 위수가 n인 순환군은 $\mathbb{Z}_n$과 동형이다

• 증명
  G = $\braket{a}$라 하고 $|G| = n$이라 하자.
  $\phi: G \to \mathbb{Z}$인 $\phi(a^k) = k$ 함수를 잡아보자.
  1. 당연히 well-defined
  2. 전단사?
     G = {$a^1, \ a^2, \ ... , \ a^n$}
     $\mathbb{Z} =$ {$0,\ 1,\ ...,\ n-1$} 처럼 같은 크기를 가짐
     따라서 전단사함수 $\phi$가 존재함
  3. homo?
     $\forall a^m, a^n \in G$에 대해,
     $\phi(a^m \cdot a^n) = \phi(a^{m+n}) = \phi(a^{m+_n n})m+_n n = \phi(a^m) +_n \phi(n)$
  -> 따라서 $\braket{\mathbb{Z}, +} \cong \braket{G, \cdot}$

참고) 같은 크기의 집합 사이에는 전단사함수가 정의되는 이유
    두 집합의 크기(Cardinality)가 같다
    = 전단사함수가 존재
    라고 정의했기 때문

 

$S_n$과 $S_A$의 동형성

$S_n = {1,\ 2,\ ...,\ n}$에 대한 치환을 모은 군
$S_A = {\sigma: A \to A \ | \ \sigma \text{는 전단사함수}}$
    $S_A$의 연산 $\circ$은 binary operation이다
        닫힘, well-defined
    그리고 $id_A: a \to a$인 항등원과
    모든 원소가 전단사이므로, $\sigma^{-1}$또한 항상 존재
    -> $S_A$는 당연히 군

 

같은 크기의 $S_n, \ S_A$는 서로 동형이다.

• 증명
  |A| = n이라고 하자.
  따라서 $f:\ A \to {1, \ 2, \ ... , \ n}$인 전단사함수가 존재.
  $\phi: \ S_A \to S_n$인 함수 $\phi(\sigma) = f\sigma f^{-1}$을 정의하자.
  
  1. well-defined?
     이때, $f\sigma f^{-1}: {1, \ 2, \ ... , \ n} \to A \to A \to{1, \ 2, \ ... , \ n}$이며,
     f는 당연히 전단사함수고,
     $\sigma \in S_A$이므로, $\sigma$도 당연히 전단사함수다.
     따라서 $\phi$도 전단사함수이며, $\phi \in S_n$이다.
     -> well-defined
  2. 단사?
     $\forall \sigma,\tau \in S_A$에 대해,
     $\phi(\sigma) = \phi(\tau) \Rightarrow f\sigma f^{-1} = f\tau f^{-1}$
     $\Rightarrow \sigma = \tau$
     -> 단사
  3. 전사?
     $\forall \tau \in S_n$에 대해,
     $\exists \sigma = f^{-1}\tau f \in S_A$
         왜냐하면 $\sigma$또한 전단사함수기 때문에 $S_A$에 들어감
     따라서, $\phi(\sigma) = \phi(f^{-1}\tau f) = f f^{-1} \tau f f^{-1} = \tau$
     -> 전사
  4. homo?
     $\forall \sigma, \tau \in S_A$에 대해,
     $\phi(\sigma \tau) = f\sigma\tau f^{-1} = f\sigma f^{-1}f\tau f^{-1} = (f\sigma f^{-1})(f\tau f^{-1}) = \phi(\sigma)\phi(\tau)$
  -> 따라서, $S_A \cong S_n$

이를 이용하면
모든 유한군을 $S_n$으로 바꿔서 생각해도 가능하다. (Cayley's theorem)