[해석학](20)[축소 컴팩트 정리 & 칸토어 집합]

 

축소 컴팩트 정리(Nested Compact Set Property)

$K_1 \supseteq K_2 \supseteq ...$일때, non-empty, compact라면
    $\bigcap\limits^{\infty}{K_n} \neq \emptyset$

• 증명
  $a_n \in K$를 뽑아서 $(a_n)$을 만들고,
  $(a_n) \subseteq K_1$이고, $K_1$은 compact이므로,
  $\exists (a_{n_k}) \subseteq (a_n), \ a_{n_k} \to L \in K_1$
  
  임의의 $K_m$에 대해,
  $\exists k \ (s.t. n_k \ge m)$이 되고, $K_{n_k} \subseteq K_m$
  따라서, $a_{n_k}$의 앞의 몇 항을 제외하면,
  $a_{n_k} \in K_{n_k} \subseteq K_m$
  
  compact 집합 => closed이고
  $a_{n_k} \to L$이므로,
  $L \in K_m$ (해석학 16 참고)
  따라서 임의의 m에 대해 L이 항상 원소로 들어가 있다
  -> $L \in \bigcap{K_n}$
  --> $\bigcap\limits^{\infty}{K_n} \neq \emptyset$
  
  
• 증명2) NIP 마냥 증명해보자!
  집합 $K_1$이 non-empty, bounded라고 하자.
  AoC에 의해, $Sup(K_1), \ inf(K_1)$이 항상 존재한다.
  이떄, $K_2 \subseteq K_1$인 $K_2$를 잡고,
  이것 또한 $\forall k_2 \in K_2, \ |k_2| < Sup(K_1)$이므로, bounded
  -> AoC에 의해, $\exists Sup(K_2), \ inf(K_2)$
  
  이와 같은 과정을 반복하면...
  $\inf(K_1) \le \inf(K_2) \le \inf(K_3) \le ... \le Sup(K_1)$의 수열이 만들어진다.
  -> bounded + monotone이므로,
  by MCT, 해당 inf 수열은 항상 수렴한다.
      $\lim\limits_{n \to \infty}\inf(K_n) = L$
  
  이때, $K_n$은 compact이므로, closed따라서, $L \in K_n$
      즉, 집합 안의 모든 수열에 대해, $\forall$ limit point $\in K_n$
      따라서,$L \in K_n$
  -> $\bigcap\limits^{\infty}{K_n} \neq \emptyset$

 

칸토어 집합 (cantor set)

$C = \bigcap\limits^{\infty}{C_n}$
    $C_0 = [0,1]$
    $C_1 = [0,\frac{1}{3}]\cup[\frac{2}{3}, 1]$
    $C_2 = [0,\frac{1}{9}]\cup[\frac{2}{9}, \frac{1}{3}]\cup[\frac{2}{3},\frac{7}{9}]\cup[\frac{8}{9}, 1]$
    ...

1. cantor 집합은 compact이다
   • closed?
     $C_0$는 닫힌 집합이고,
     임의의 자연수 N에 대해서도 $C_N$은 닫힌 집합이다
     교집합은 closed에 영향 없으므로,
     -> C는 closed
     참고) 여집합이 열림으로 증명할 수도 있음!
         오히려 이게 열린 집합의 합집합으로 정의되니까
         더 자연스러울수도?
   • bounded?
     $\forall c \in C, \ |c| \le 1$

    by heine-borel theorem,
        closed + bounded -> compact

1. uncountable이다
   $\mathbb{R}$과 일대일대응 함수가 있음
   3진법 체계에서 0, 2만 사용하는 수열
   $\Rightarrow$ 이진 수열로 나타내기
   -> uncountable
2. measure zero
   점차 빼다보면 길이가 0이 됨
   제거된 길이 = $\sum\limits^{\infty}_{n=0}{\frac{2^n}{3^{n+1}}} = 1$
3. no open intervals
   -> disconnected