[해석학](17)[open-closed complement & dense]

 

open-closed complement

어떤 집합 $A \in \mathbb{R}$에 대해,
A가 open set $\Rightarrow$ $A^C$는 closed set
A가 closed set $\Rightarrow$ $A^C$는 open set

• 증명) open -> 여집합 closed
  A가 open set 이라고 하자
  $x \in A^C \Leftrightarrow x \not\in A$
  x를 $A^C$의 limit point라 할 때,
  $x \not\in A^C$라 가정하자
      $\Leftrightarrow x \in A$
  A는 open set이므로,
      $\Leftrightarrow \exists \epsilon > 0, \ V_{\epsilon}(x) \subseteq A$
      $\Rightarrow V_{\epsilon}(x)\bigcap A^C = \emptyset$
  그러나, x가 limit point이므로 공집합이면 안됨 -> 모순
  따라서 $x \in A^C$
      즉, 모든 limit point가 $A^C$안에 들어감
  따라서, $A^C$는 open set
• 증명) closed -> 여집합 open
  A가 closed set 이라고 하자
  $x \in A^C \Leftrightarrow x \not\in A$
  x를 A의 limit point라 가정하자.
  A는 closed set이다
      $\Leftrightarrow \forall \text{limit point} \in A$
  그러나, $x \not\in A$이므로 -> 모순
  따라서 x는 limit point가 될 수 없다.
  $\Rightarrow \exists\epsilon > 0, \ V_{\epsilon}\bigcap A = \emptyset$
      $\Rightarrow V_{\epsilon} \subseteq A$
  따라서, $A^C$는 open set

참고) open/closed의 여집합이 closed/open이라는 소리지
    open이 아니면 closed, closed가 아니면 open이라는 소리는 아님
    예) {$\frac{1}{n}$ | $n \in \mathbb{N}$} 은 open도 아니고 closed도 아니다.
    - open
        $\forall \epsilon > 0, \ (1-\epsilon, 1+\epsilon) \not\subseteq (\frac{1}{n})$
    - closed
        limit point = {0}
        but, ${0} \not\subseteq (\frac{1}{n})$

 

dense (조밀성)

$\bar{A} = \mathbb{R}$이면 A는 dense하다
    즉, 조밀하게 실수 위의 임의의 점이 A의 원소 또는 극한점이다
$\iff \forall$ 공집합이 아닌 open set은 A의 원소를 적어도 1개 포함
$\iff \forall x \in \mathbb{R}, \ \forall \epsilon > 0 , \ V_{\epsilon} \bigcap A \neq \emptyset$
    실수 안에 어느 부분을 잡아도 A의 원소가 $\epsilon$-근방에 잡힌다

 

예) 해석개론 4에서 본 것처럼, $\mathbb{Q}$는 dense하다.