[해석학](12)[코시 수열]

코시 수열 (Cauchy Sequence)

$\forall \epsilon > 0\text{에 대하여, } m, n \ge N \Rightarrow |a_m -a _n|< \epsilon \text{을 만족하는 } N \in \mathbb{N}\text{이 존재하는 수열}$

 

-> 수열의 수렴조건과 달리 L을 몰라도 정의가 된다
    수렴: $|a_n - L| < \epsilon$
    코시: $|a_m - a_n| < \epsilon$

 

예) $(\frac{1}{n})$은 코시 수열인가?
    $\epsilon > 0$이라 하고, m, n > N에 대해,
    $|\frac{1}{m} - \frac{1}{n}| \le |\frac{1}{m}| + |-\frac{1}{n}| = \frac{1}{m} + \frac{1}{n} \le \frac{2}{N}$이다. (삼각부등식)
    따라서, $N > \frac{2}{\epsilon}$으로 잡으면 항상 $|a_m - a_n| < \epsilon$를 만족한다.
    따라서, $(\frac{1}{n})$은 코시 수열이다.
예) $(s_n) = \sum\limits^{n}{k=1}{\frac{1}{k}}$은 코시 수열인가?
    반례가 존재한다....
    m = 2n일때,
    $|s{2n} - s_n| = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n} \ge n \cdot \frac{1}{2n} = \frac{1}{2}$
    즉, $\epsilon \le \frac{1}{2}$일때는 N을 찾을 수가 없다...
    -> 따라서, $(s_n)$은 코시 수열이 아님

 

코시 수열이다 $\Leftrightarrow$ 수열이 수렴한다

수열 $(a_n)$이 있을때,

• (<=) 증명: 수렴 => 코시
  $a_n \to L$이라 가정하고 $\epsilon > 0$이라 하자.
  수열이 수렴하므로, $\forall n \ge N, \ |a_n -L|<\frac{\epsilon}{2}$인 N이 존재한다.
  $m,n \ge N$에 대해, (삼각부등식 이용)
  $|a_m - a_n| = |a_m-L+L-a_n| \le |a_m-L|+|L-a_n| < \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2} = \epsilon$
  즉, $|a_m - a_n| < \epsilon$이므로, $(a_n)$은 코시 수열이다.
• (=>) 증명: 코시 => 수렴
  증명은 bounded -> BW -> $\forall\text{부분수열} \to L$과 같은 프로세스로 전개된다.
  1. bounded 증명
     해석학 8에서 수렴하는 수열이 bounded를 보인 것과 흡사하다.
     $\epsilon = 1 > 0$이라 하자.
     $(a_n)$이 코시 수열이므로,
     $\Leftrightarrow \exists N , \ \forall m , n \ge N, \ |a_m - a_n|<1$
     $\Rightarrow m = N\text{ 이라고 하자, 그러면 } |a_N - a_n| < 1$
         $\Leftrightarrow a_N-1 \le a_n \le a_N+1 \Rightarrow |a_n| \le |a_N|+1$
     상한 M = $\max (|a_1|,\ ...,\ |a_{N-1}|,\ |a_N|+1)$이 존재하므로
     $(a_n) \le M$, 즉, $(a_n)$은 bounded above
         (물론 $|a_N|-1$에 대해서 하면 bounded below가 되므로)
     -> $(a_n)$은 bounded다
  2. BW로 인해 수렴하는 부분수열이 존재함
     BW에 의해, bounded 수열은 항상 수렴하는 부분수열이 존재한다.
     이때 부분수열을 $(a_{n_k})$라고 하고
     $(a_{n_k}) \to L$이라 하자.
  3. 모든 부분수열이 L로 수렴
     $\epsilon > 0$이라 하고, $(a_n)$은 코시수열이므로,
     $\exists N_1, \ \forall m,n \ge N_1, \ |a_m-a_n|<\frac{\epsilon}{2}$
     $a_{n_k} \to L \Leftrightarrow k \ge K\text{에 대해, }|a_{n_k}-L| < \frac{\epsilon}{2}$
     $n_k \ge N_1$인 $k \ge K$를 잡으면, $\forall n \ge N_1$에 대해,
     $|a_n - L| \le |a_n-a_{n_k}| + |a_{n_k} - L| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$
     
     즉, $|a_n - L| < \epsilon$이므로, $(a_n) \to L$이다.

 

현재 정리의 관계

대충 이렇게 된다.
NIP는 AoC로 증명하고 [[해석학 4]]
MCT는 AoC로 증명하고 [[해석학 10]]
BW는 NIP랑 MCT로 증명하고 [[해석학 11]]
Cauchy는 BW로 증명하고 [[지금 이 글!]]
AoC는 다시 Cauchy로 증명할 수 있다