[해석학](14)[절대수렴 & 발산 판정법 2]

 

절대/조건부 수렴 (absolute/conditional convergence)

절대수렴: $\sum{|a_n|}$이 수렴
조건부수렴: $\sum{a_n}$은 수렴하나, $\sum{|a_n|}$은 발산함
발산: $\sum{a_n}$이 발산

 

절대수렴 판정법 (absolute convergence implies convergence)

$\sum{|a_n|}$이 수렴하면 (= $\sum{a_n}$이 절대수렴) $\Rightarrow \sum{a_n}$은 수렴한다

• 증명 (코시 특징을 활용하자)
  $\epsilon > 0$에 대해, $\sum{|a_n|}$이 수렴하므로
  $\Leftrightarrow |a_{n+1}|+|a_{n+2}|+...+|a_m| < \epsilon$
  삼각부등식을 사용하면,
  $\Rightarrow |a_{n+1}+a_{n+2}+...+a_m| \le |a_{n+1}|+|a_{n+2}|+...+|a_m| < \epsilon$
  따라서 $\sum{a_n}$또한 코시 수열이 되므로,
  $\sum{a_n}$은 수렴한다.

예) $\sum{\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}}$은 수렴하는가?
    절대수렴 판정법을 사용하면,
    즉, $\sum{|a_n|} = \sum{\frac{1}{n^2}}$가 수렴하는가?
    이떄, p-급수 판정법에 의해 p>2이므로, $\sum{|a_n|}$은 수렴
    따라서, 절대수렴 판정법에 의해, $\sum{a_n}$은 수렴렴

 

교대급수 판정법 (altering series test)

$(a_n)$이 1. 감소하고, 2. $a_n \ge 0$이고, 3. $a_n \to 0$이면
$\sum\limits^{\infty}{(-1)^{n+1}a_n} = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 +...$은 수렴한다.

• 증명
  $S_{2N} = (a_1 - a_2) + (a_3 - a_4) +...$
  이떄, $(a_n)$은 감소하므로, 각 묶음은 양수이다.
  $\Rightarrow 0 \le S_{2N}$
  $S_{2N} = a_1 - (a_2 - a_3) - (a_4 - a_5) - ... \le a_1$
  따라서, $S_{2N}$은 bounded above, increasing
  by MCT, $S_{2N} \to L$
  
  $S_{2N+1} = S_{2N} + a_{2N+1}$이므로,
  $\Rightarrow \lim{S_{2N+1}} = \lim{S_{2N}+a_{2N+1}}$
  이떄, 전제에 의해 $a_n \to 0$이므로,
  $\Rightarrow \lim{S_{2N+1}} = \lim{S_{2N}+0} = L$
  따라서, $S_{2N+1} \to L$

예) $\sum{\frac{(-1)^{n+1}}{n}}$은 수렴하는가?
    즉, $a_n = \frac{1}{n}$에 대한 교대급수가 수렴하는가?
    1. $\frac{1}{n}$은 감소수열이다
    2. $a_n \ge 0$이다
    3. 아르키메데스 원리에 의해, $\frac{1}{n} \to 0$이다
    -> 따라서 교대급수 판정법에 의해, $\sum{\frac{(-1)^{n+1}}{n}}$은수렴

 

참고) 급수의 순서바꾸기, 묶기
    무한급수의 항의 순서를 바꾸면 계산 결과가 달라질 수 있다
    무한급수의 연산을 위해 각 항을 묶는 것은 가능
        그러나, n개씩 묶었을 경우
        $S_{N+1}, \ S_{N+2}, \ ... ,\ S_{N+n-1}$까지 수렴을 잘 하는지 판단해야 함
예) $\frac{2}{2}-\frac{3}{4}+\frac{4}{6} - \frac{5}{8}+...$
    = $\sum{\frac{(-1)^{n+1}(n+1)}{2n}}$
    만약 2개씩 항을 묶는다면,
    $a_{2k-1}+a_{2k} = (\frac{2k}{4k-2} - \frac{2k+1}{4k})$
    $\sum{\frac{2}{4k(4k-2)}} = \frac{1}{2}\sum{\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k}}$
    테일러 급수를 이용하면... $= \frac{1}{2}\ln{2}$
    그러나, 이것은 오직 항이 짝수개일떄만 성립
    만약 항이 홀수개라면? $S_{2k+1} = S_{2k}+\frac{1}{2}$이므로,
    두 부분합이 하나로 합쳐지지 않으므로, 발산
    -> 발산 판정법으로 보면... $\frac{(-1)^{n+1}(n+1)}{2n} \to \pm \frac{1}{2}$ 이므로, 발산임

 

비율 판정법 (ratio test)

$a_n \neq 0, \ \sum{a_n}$에 대해, $\lim\limits_{n \to \infty}{|\frac{a_{n+1}}{a_n}|} = r$ 이라고 가정하면
    r < 1 이면, $\sum{a_n}$은 절대수렴
    r > 1 이면, $\sum{a_n}$은 발산
    r = 1 이면, 몰루
-> 즉, 임의의 수열을 등비수열로 보겠다 이 말이다

• 증명 (r < 1)
  r<1이므로, r과 1 사이에 있는 어떤 실수 k를 선택할 수 있다.
      r < k < 1
  $|\frac{a_{n+1}}{a_n}|$의 극한이 존재한다 가정했으므로,
  임의의 $\epsilon$에 대해, $||\frac{a_{n+1}}{a_n}|-r| < \epsilon$
  이떄, $\epsilon = k - r$이라 한다면,
       $\Rightarrow ||\frac{a_{n+1}}{a_n}|-r| < \epsilon = k - r$
       $\Rightarrow |\frac{a_{n+1}}{a_n}| < r + (k-r) = k$
       $\Rightarrow |a_{n+1}| < k|a_n|$
  이것을 반복하면, $|a_{N+i}| < k^i|a_N|$이다
  $\Rightarrow \sum{|a_{N+i}|} < \sum{k^i |a_N|}$
  이떄, 우변은 공비가 k < 1인 등비급수이므로, 수렴한다.
  -> 비교판정법에 의해 $\sum\limits^{\infty}{|a_{N+i}|}$도 수렴한다.
       즉, $a_n$의 1~N-1까지는 유한개니까 당연히 수렴하고
       그 뒤에 무한한 항의 합도 수렴
  -> 따라서, $\sum{a_n}$은 수렴
• 증명 (r > 1)
  r>1이므로, 1과 r 사이에 있는 어떤 실수 k를 선택할 수 있다.
      1 < k < r
  $|\frac{a_{n+1}}{a_n}|$의 극한이 존재한다 가정했으므로,
  임의의 $\epsilon$에 대해, $||\frac{a_{n+1}}{a_n}|-r| < \epsilon$
  이떄, $\epsilon = r - k$이라 한다면,
       $\Rightarrow ||\frac{a_{n+1}}{a_n}|-r| > -\epsilon = k - r$
       $\Rightarrow |\frac{a_{n+1}}{a_n}| >-r + (k-r) = k$
       $\Rightarrow |a_{n+1}| > k|a_n|$
  즉, $a_n$은 계속 증가하는 수열,
  -> 발산 판정법에 의해, $a_n \not\to 0$이므로, 발산

 

근 판정법

$a_n \neq 0, \ \sum{a_n}$에 대해, $\lim\limits_{n \to \infty}{\sqrt[n]{|a_n|}} = r$ 이라고 가정하면
    r < 1 이면, $\sum{a_n}$은 절대수렴
    r > 1 이면, $\sum{a_n}$은 발산
    r = 1 이면, 몰루
예) $\sum{\frac{1}{(\ln{n})^n}}$ 단, n은 2이상
    by root test,
    $\lim{\sqrt[n]{|(\frac{1}{\ln{n})^n}|}} = \lim{|\frac{1}{\ln{n}}|} \to 0$