[해석학](9)[ALT & OLT & Squeeze Theorem]

 

대수적 극한 정리 (Algebraic Limit Theorem (ALT))

$a_n \to a, \ b_n \to b$일때,

1. $a_n+b_n= a+b$
2. $\forall c \in \mathbb{R}, \ c \cdot a_n \to c\cdot a$
3. $a_n \cdot b_n \to a\cdot b$
4. $\frac{a_n}{b_n} \to \frac{a}{b}$ (단, b $\neq$ 0)

예) 이걸 이용하면 $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{2n+1}{3n+5} = \frac{2}{3}$를 더 쉽게 증명할 수 있다!
    $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{2n+1}{3n+5} = \lim\limits_{n \to \infty}\frac{2+\frac{1}{n}}{3+\frac{5}{n}}$$\Rightarrow \frac{\lim 2 + \frac{1}{n}}{\lim 3+\frac{5}{n}}$
    이떄, $\lim 2 + \frac{1}{n} = 2+0 = 2$이고, $\lim 3+\frac{5}{n} = 3+0 = 3$이므로,
    by ALT, $\frac{\lim 2 + \frac{1}{n}}{\lim 3+\frac{5}{n}} = \frac{2}{3}$

• (1) 증명
  $\forall \epsilon > 0, \ |a_n+b_n - (a+b)| < \epsilon$임을 보여줘야 함
  $a_n \to a, \ b_n \to b$이므로, $\forall \frac{\epsilon}{2} > 0, \ |a_n-a|<\frac{\epsilon}{2} \text{ 이고, } |b_n-a|<\frac{\epsilon}{2}$
  $|a_n+b_n - (a+b)| = |(a_n-a)+(b_n-b)|$
  $\le |a_n-a|+|b_n-b|$ (삼각부등식 사용)
  $< \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2} = \epsilon$
  즉, $a_n+b_n \to a+b$
• (2) 증명
  $\forall \epsilon > 0, \ |c\cdot a_n - c\cdot a| < \epsilon$임을 보여줘야 함
  $|c\cdot a_n - c\cdot a| = |c \cdot (a_n-a)| = |c||a_n-a|$
  if c ≠ 0?
      $a_n \to a$이므로, $|a_n-a|<\frac{\epsilon}{|c|}$
  if c = 0?
      $|c||a_n-a| = 0 < \epsilon$
  즉 $|c||a_n-a|<\epsilon$이므로 $\forall c \in \mathbb{R}, \ c \cdot a_n \to c\cdot a$
• (3) 증명
  $\forall \epsilon > 0, \ |a_n\cdot b_n - (ab)| < \epsilon$임을 보여줘야 함
  $|a_n\cdot b_n - (ab)| = |a_nb_n-a_nb+(a_nb-ab)| = |a_n(b_n-b) + b(a_n-a)|$
  $\le |a_n||b_n-b| + |b||a_n-a|$ (삼각부등식 이용)
  $|b||a_n-a|<\frac{\epsilon}{2}$만들기
       b = 0이면 어짜피 $0 < \frac{\epsilon}{2}$이므로 무시
       b ≠ 0이면, $|a_n-a| < \frac{\epsilon}{2|b|}$을 만족하는 $N_1$을 잡으면 됨
  $|a_n||b_n-b|<\frac{\epsilon}{2}$만들기
       ($a_n$)은 수렴 -> 따라서 ($a_n$)은 bounded
           $\forall n \in \mathbb{N}, \ \exists M, \ st \ |a_n|\le M$
       즉, $|a_n||b_n-b|<\frac{\epsilon}{2M}$을 만족하는 $N_2$를 잡으면 됨
  N = max($N_1, N_2$)일 때,
  $|a_n||b_n-b| + |b||a_n-a| < \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2} = \epsilon$
  따라서, $a_nb_n \to ab$
• (4) 증명
  $\frac{1}{b_n} \to \frac{1}{b}$을 증명해서 (2)로 증명하면 됨
  즉, $\forall \epsilon > 0, \ \left| \frac{1}{b_n} - \frac{1}{b} \right| = \left| \frac{b - b_n}{b_n b} \right| = \frac{|b_n - b|}{|b_n||b|} < \epsilon$을 증명하자!
  이떄, $|b_n|$이 매우 작으면 $\epsilon$ 아래에 들어가지 못할 수도 있다.
  따라서 $b_n$의 하한을 구해보자.
  $b_n \to b$이므로, 어떤 $N_1$에 대해, $\forall n \ge N_1$
  $|b_n-b| < \frac{|b|}{2} \Rightarrow |b| - |b_n| \le |b_n - b| < \frac{|b|}{2}$
  즉, $|b_n|>\frac{|b|}{2} \Rightarrow \frac{1}{|b_n|} < \frac{2}{|b|}$
  $|\frac{|b_n - b|}{|b_n||b|}| < \frac{2}{|b|} \cdot \frac{|b_n - b|}{|b|} = \frac{2}{|b|^2}|b_n-b|$
  이때, $b_n \to b$이므로, 어떤 $N_2$에 대해, $|b_n-b|<\frac{|b|^2 \epsilon}{2}$
  따라서, $|\frac{|b_n - b|}{|b_n||b|}| < \frac{2}{|b|^2}|b_n-b| < \epsilon$
  따라서, $b_n \to b$일때 $\frac{1}{b_n} \to \frac{1}{b}$
  그리고, (2)에 의해, $a_n \cdot \frac{1}{b_n} \to a \cdot \frac{1}{b} = \frac{a}{b}$

 

순서극한정리 (Order Limit Theorem (OLT))

$a_n \to a, \ b_n \to b$일때,

1. $\forall n \in N, \ a_n \ge 0 \Rightarrow a \ge 0$
2. $\forall n \in N, \ a_n \le b_n \Rightarrow a \le b$
3. $\forall n \in N, \ \exists c \in \mathbb{R}, \ c \le a_n \Rightarrow c \le a$

• (1) 증명
  귀류법으로 증명해보자...
  if $a_n \ge 0$이고 a<0 ?
  $\epsilon = -a > 0$이라 잡아보묜
  $\forall n \ge N, \ |a_n-a|<-a$인 N이 존재
  $\Rightarrow 2a< a_n < a + (-a) = 0$이므로 모순
  따라서 $a_n \ge 0 \Rightarrow a \ge 0$
• (2) 증명
  $a_n\le b_n \Rightarrow b_n-a_n \ge 0$
  ALT에 의해 $b_n-a_n$은 b-a로 수렴하는 수열이다.
  따라서 (1)을 사용하면 $b-a \ge 0$
  즉, $b \ge a$
• (3) 증명
  새로운 수열 $x_n = a_n -c$를 정의하자
  ALT에 의해 $x_n \to a-c$
  $\forall n \in \mathbb{N}, \ a_n\ge c$이므로, 항상 $x_n\ge 0$
  (1)에 의해 $a-c \ge 0$이 된다
  따라서 $a \ge c$

 

Squeeze Theorem

(샌드위치 정리)
$\forall n , \ a_n \le b_n \le c_n$이고, $a_n \to L, \ c_n \to L$이면, $b_n \to L$이다.

• 증명
  let ε > 0,
  1. lower bound
     $b_n - L = a_n-L+b_n-a_n$
     $b_n \ge a_n$이므로, $b_n - a_n \ge 0$
     $\Rightarrow b_n-L \ge a_n - L \ge -|a_n-L| > -\epsilon$
     $\Rightarrow b_n - L > -\epsilon$
  2. upper bound
     $b_n - L = c_n-L+b_n-c_n$
     $b_n \le c_n$이므로, $b_n - c_n \le 0$
     $\Rightarrow b_n-L \le c_n - L \le |c_n-L| < \epsilon$
     $\Rightarrow b_n - L < \epsilon$
     따라서 $|b_n - L| < \epsilon$이므로, $b_n \to L$

예) $\lim\limits_{n \to \infty}{\frac{\sin{n}}{n}} = 0$?
    $-1 \le \sin{n} \le 1$이므로,
    $\frac{-1}{n} \le \frac{\sin{n}}{n} \le \frac{1}{n}$ 이고,
    $\lim\limits_{n \to \infty}{\frac{-1}{n}} = \lim\limits_{n \to \infty}{\frac{1}{n}} = 0$ 이므로,
    by squeeze theorem, $\lim\limits_{n \to \infty}{\frac{\sin{n}}{n}} = 0$