[해석학](11)[부분수열 & BW]

 

부분수열 (subsequance)

어느 수열에서 순서대로 수를 골라 만든 새로운 수열
    수열 ($a_n$)에 대해,
    $n_1 < n_2 < ...$처럼 인덱스를 뽑아 만든
    새로운 수열 $(a_{n_k})$

 

전체 수열 ($a_n$)을 알기 어려운 경우가 있다.
이떄, 수열의 일부라도 성질을 알아보기 위해 사용한다.

 

$a_n \to L$이라면 ($a_n$)의 모든 부분수열도 L로 수렴한다.
$\Leftrightarrow$ 2개의 부분수열이 다른 수렴값을 가지면, ($a_n$)은 발산한다
$\Leftrightarrow$ 부분수열이 발산하면 ($a_n$)은 발산한다

• 증명
  $\epsilon > 0$이라 하자.
  $a_n \to L$이므로, $\exists N, \ \forall n \ge N, \ |a_n-L|<\epsilon$이다.
  $n_1 < n_2 < n_3 < ...$ 이므로,
  $\forall k, \ n_k \ge k$여야 한다
      왜냐하면 n1 = 1이라 할 때 n2 > n1 = 1 즉, 2이상
  $k \ge N$에 대해, $n_k \ge k \ge N$이 되므로, $|a_{n_k}-L|<\epsilon$이 된다.
  따라서, 임의의 부분수열도 L로 수렴한다

 

Bolzano-Weierstrass Theorem (BW)

모든 실수안의 bounded 수열은 수렴하는 부분수열을 갖는다.

• 증명 (NIP를 이용해보자!)
  $(a_n)$이 bounded라고 해보자.
      $\forall n \in \mathbb{N}, \ a_n \in I_0 = [a, b]$
  이떄, $I_0=\begin{cases} [a, \frac{a+b}{2}] & \ [\frac{a+b}{2}, b] \end{cases}$ 처럼 2개의 구간으로 나눠보자
  $(a_n)$은 무한개의 항을 포함하고 있으므로,
  적어도 하나의 구간엔 무한개의 항이 포함되어 있다
      이때 그 구간을 $I_1$이라 하자.
  이 과정을 반복하면 $I_0 \supseteq I_1 \supseteq I_2 \supseteq ...$처럼 nested interval이 만들어지고,
  $|I_k| = \frac{b-a}{2^k}$가 된다.
  
  이때, $\lim |\bigcap\limits^{\infty}{I_n}| = \lim\limits_{k \to \infty} |I_k| = \lim\limits_{k \to \infty}\frac{b-a}{2^k} = 0$
  따라서 구간의 길이가 0으로 수렴한다.
  그러나 NIP에 의해, $\exists x \in \bigcap\limits^{\infty}I_n$ 이므로,
  -> $\bigcap\limits^{\infty}I_n = {x}$
  
  이제 x를 기준으로 x로 수렴하는 부분수열을 만들어보자.
  $a_{n_1} \in I_1$인 $n_1$을 뽑고
  $a_{n_2} \in I_2$인 $n_2 > n_1$인 $n_2$을 뽑고
      왜냐하면 $I_2$는 무한한 항을 포함하고 있기 때문
  ...
  $a_{n_k} \in I_k$인 $n_k > n_{k-1}$인 $n_k$을 계속 뽑는다.
  그러면 $0 \le |a_{n_k} - x| \le |I_k| = \frac{b-a}{2^k}$
  squeeze theorem에 의해, $0 \le \lim\limits_{k \to \infty}|a_{n_k}-x| \le 0$
      즉, $|a_{n_k}-x| \to 0$
  수열의 수렴의 정의에 의해, $(a_{n_k}) \to x$