[해석학](4)[조밀성 & 축소구간정리]

 

유리수 집합의 조밀성

$\forall a,b \in \mathbb{R}, \ a<b$면 a<r<b인 유리수 r이 존재한다.

• 증명
  a < b 일떄, $m, n \in \mathbb{Z}$인 $a<r=\frac{m}{n}<b$가 존재함을 보이면 된다!
  a < b -> 0 < b - a
  아르키메데스 원리에 의해, $\exists n \in \mathbb{N}, \ \frac{1}{n}<b-a$이다.
• 또한, 아르키메데스 원리를 또 사용해, 임의의 na에 대해, m > na인 정수를 잡을 수 있으며, 이떄의 m을 조건을 만족하는 가장 작은 정수라 하자.
  $\Rightarrow a < \frac{m}{n}$
  
  m의 정의(가장 작은 정수)에 의해, $m-1 \le na \Rightarrow m \le na+1$
  따라서, $\frac{m}{n}\le a+\frac{1}{n}<a+(b-a)=b$
  
  즉, $a<\frac{m}{n}<b$인 $\frac{m}{n}$이 존재한다
  -> 유리수 집합은 조밀하다.

참고) 조밀성이 당연한 것처럼 보이지만 아님
    예) 0.1과 0.2 사이에는 정수가 없다
    -> 즉, 임의의 유리수 사이에 정수가 없는 경우가 있다
    --> 정수는 유리수 내에서 조밀하지 않다

 

무리수 집합의 조밀성

$\forall a,b \in \mathbb{R}, \ a<b$면 a<r<b인 무리수 t가 존재한다.

• 증명
  (유리수 + 무리수 = 무리수)임을 이용해보자!
     (아직 무리수 정의를 제대로 안했기 때문...)
  $a-\sqrt{2}, b-\sqrt{2}$에서 유리수의 조밀성을 이용하면,
  $\exists r \in \mathbb{Q}, \ a-\sqrt{2}<r<b-\sqrt{2}$
  $t=r+\sqrt{2}$로 하면, t = 유리수 + 무리수 = 무리수
  $\Rightarrow a < r+\sqrt{2} = t < b$
  따라서 무리수 t도 항상 임의의 실수 사이에 항상 존재한다

참고) 유리수랑 무리수의 cardinality는 다른데 둘 다 조밀하다고?
    크기가 무리수가 더 크다고 유리수가 고르게 펴져있지 않다는 아님
    (제미나이 피셜 별과 암흑물질같은 개념...)

 

축소구간정리 Nested Interval Property (NIP)

$I_n = [a_n, b_n]$인 bounded 구간일 때, $I_1 \supseteq I_2 \supseteq ...$(nested)이면
$\bigcap\limits^{\infty}{n=1}I_n = \lim\limits{n \rightarrow \infty} \bigcap\limits^{n}{i=1}I_n \neq \emptyset$ 이다.
또는 $x \in \bigcap\limits^{\infty}{n=1}I_n \Leftrightarrow \forall n \in \mathbb{N}, \ x \in I_n$
    (닫힌 nested 구간 사이엔 항상 실수가 항상 존재한다)

각 조건을 더 살펴보면

• 만약 닫힌 구간이 아니라면?
  예) $I_n = (0, \frac{1}{n})$처럼 열린구간이 주어질 때, 교집합 안에 들어있는 원소가 없음 <- 귀류법으로 증명
  교집합 안에 들어가는 x가 있다고 해보자. (0 < x < 1/n)
  아르키메데스 원리에 의해, 1/n0 < x인 n0가 자연수 내에서 존재한다.
  즉, $\bigcap\limits^{\infty} \subset I_{n_0} \not\ni x$
  따라서 x가 교집합 안에 들어가지 못하므로, 모순
  -> 따라서 닫힌구간이 아닐 때는 NIP가 성립을 안 할수도 있다.
• 만약 bounded가 아니라면?
  예) $I_n = [n, \infty)$로 주어져서 위로 유계가 아니게 된다면,
  $\exists x_0 \in I_n$ 이라 하면, $\Leftrightarrow \forall n \in \mathbb{N}, \ x_0 \in I_n$
  $\Rightarrow \forall n \in \mathbb{N}, \ n \le x_0 \le \infty$
  즉, x0가 자연수의 상계가 된다,
  그러나, 아르키메데스 원리에의해 자연수는 위로 유계가 아니므로 모순
  -> 무한이 아니라 닫힌 구간이어야 한다.
  
  
• 증명: 모든 구간에 들어가는 x를 잡자!
  $x \in \bigcap\limits^{\infty}I_n \Leftrightarrow \forall n \in \mathbb{N}, \ x \in I_n$
  $\Rightarrow \forall n \in \mathbb{N}, \ a_n \le x \le b_n$
  1. $a_n \le x$인가? (= x는 an의 상계인가?)
     an은 증가하는 수열이며, 임의의 b보다 작으므로, 위로 유계이다.
     따라서 AoC에 의해 상한이 존재한다.
     이떄의 상한을 x라고 잡자
  2. $x \le b_n$인가?
     $\forall n \in \mathbb{N}, \ b_n$은 an의 상계이고, x는 an의 상한이므로,
     $x = SupA \le 상계 = b_n$
     $\forall n \in \mathbb{N}, \ a_n \le x \le b_n$인 x가 존재한다!
     따라서 $\bigcap\limits^{\infty}I_n \neq \emptyset$