[해석학](8)[수렴하는 수열의 성질]

 

수렴하는 수열의 성질

 

유일성(uniquness)

$a_n \to L \text{ 그리고 }a_n \to M$이면 L = M
    즉, 수렴할 때, 극한은 유일하다.

• 증명
  ε > 0으로 잡자.
  $a_n \to L \text{ 이므로, } \forall n\ge N_1, \ |a_n-L|<\frac{\epsilon}{2}$인 자연수 $N_1$이 존재
  $a_n \to M \text{ 이므로, } \forall n\ge N_2, \ |a_n-M|<\frac{\epsilon}{2}$인 자연수 $N_2$가 존재
  N = max($N_1, \ N_2$)라고 한다면,
  $\forall n \ge N, \ |L-M| = |L-a_n + a_n - M|$
  $\le |L-a_n| + |a_n-M|$ (삼각부등식 활용)
  $< \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2} = \epsilon$
  즉, 임의의 ε에 대해, |L-M| < ε 이므로,
  L = M이다.

 

유계 (bounded)

$a_n \to L \Rightarrow \forall n \in \mathbb{N}, \ |a_n|\le M$인 M이 존재함
    즉 수렴하는 모든 수열은 bounded이다
참고) 역은 성립 안함
    예) ($(-1)^n$)
    분명 bounded이긴 함 $\forall n, \ ((-1)^n) \le 2$
    그러나 진동발산함...

• 증명
  if n < N이라면?
      $\forall n \le N, \ a_n \le$$ max$(|a_1|, \ |a_2|, \ ..., \ |a_{N-1}|)$
  if n ≥ N이라면? (n이 무한개)
      $a_n \to L$일때, ε=1 이라고 하자.
      $\Rightarrow \forall n \ge N, \ |a_n-L|<1$인 N이 존재
      즉, |a_n|<|L|+1
  M = max($|a_1|, \ |a_2|, \ ..., \ |L|+1$)에 대해
  $\forall n \in \mathbb{N}, \ |a_n|\le M$
  따라서, $(a_n)$은 위로 유계다.

 

수열의 발산

$\forall L \in \mathbb{R}$에 대해서도 수렴하지 않는다면 발산이다.
    $\forall N \in \mathbb{N}\text{ 에 대해, } \ \exists n \ge N, |a_n-L|\ge \epsilon_0$인 $\epsilon_0$를 찾을 수 있다
    즉, N을 어떻게 잡던, 그 이상의 n에서 범위를 좁히면 범위 안에 들어오는 것이 하나라도 존재한다.
    (즉, 범위 안에 들어오지 않는 $a_n$이 무한번 있다.)

• 예) $((-1)^{n})$이 발산함을 보이시오
  $((-1)^n)$ = 수렴이라 하자. (귀류법으로 증명)
  $\epsilon = \frac{1}{2}$이라 잡으면, $\forall n \ge N, \ |a_n-L|<\frac{1}{2}$인 N이 존재한다.
  짝수 n≥N일떄,
      $|1-L| < \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{2}<L<\frac{3}{2}$
  홀수 n≥N일떄,
      $|-1-L| < \frac{1}{2} \Rightarrow -\frac{3}{2}<L<-\frac{1}{2}$
  그러나, $\frac{1}{2}<L<\frac{3}{2}$이면서 $\frac{3}{2}<L<-\frac{1}{2}$일 수는 없으므로, 모순
  -> 따라서 $((-1)^n)$은 발산한다.