[해석학](13)[무한급수 & 발산 판정법 1]

무한급수 (infinite series)

주어진 수열 $(a_n)$에 대해,
부분합 $S_N = \sum{a_n} = a_1 + a_2+...+a_N$이
$S_N \to L$이라면 $\sum{a_n} \to L$이라 한다.

• 기하급수
  $\sum{r^n} = \frac{a_1}{1-r}$
• 조화급수
  $\sum{\frac{1}{n}}$은 발산

 

발산 판정법 (divergence test)

$\sum{a_n}$이 수렴 $\Rightarrow a_n \to 0$
$\Leftrightarrow a_n \not\to 0 \Rightarrow \sum{a_n}$은 발산 (단, |r| < 1)

 

급수에 대한 코시수열의 특징 (cauchy criterion for series)

$\epsilon > 0$애 대해, $\exists N, \ m > n\ge N$인 자연수 m, n에 대해,
$|S_m - S_n| = |a_{n+1} + a_{n+2}+...+a_m| < \epsilon$이 성립하면,
$(S_N)$은 코시수열 $\Leftrightarrow$ $(S_N)$은 수렴한다.

 

비교 판정법 (Comparison test)

$\forall n, \ 0 \le a_n \le b_n$에 대해,

1. $\sum{b_n}$이 수렴 $\Rightarrow \sum{a_n}$이 수렴
2. $\sum{a_n}$이 발산 $\Rightarrow \sum{b_n}$이 발산
   즉, 어떤 수열에 대해,
   양수인지 판정하고
   수렴을 증명할 거면 더 큰 수열을 잡고
   발산을 증명할 거면 더 작은 수열을 잡아
   잡은 수열이 수렴/발산하는지 판정

• 증명 (MCT 이용)
  $S_N = \sum\limits^{N}{a_n}$이라고 하자.
  $a_n \ge 0$이므로, 항상 $(S_N)$은 increasing
  $\forall n, \ a_n \le b_n$이므로, $S_N \le \sum\limits^{N}{b_n} \le \sum\limits^{\infty}{b_n}$
      즉, bounded above
  따라서 by MCT, $(S_N)$은 수렴한다.

예) $\sum\limits^{\infty}_{n=2}{\frac{1}{n^2}}$는 수렴하는가?
    $S_N = \sum{\frac{1}{n^2}}$이고, $\forall n, \frac{1}{n^2} > 0$이므로, $(S_N)$은 increasing
    그리고, $\frac{1}{n^2} \le \frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}$이다.
    따라서, $S_N = \sum\limits^{N}{\frac{1}{n^2}} \le \sum\limits^{N}{(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n})} = 1-\frac{1}{N} < 1$
    즉, N에 관계없이 $S_N \le 1$이므로, bounded above
    -> by MCT, $(S_N)$은 수렴한다

 

p-급수 판정법 (p-Series test)

$\sum\limits^{\infty}{\frac{1}{n^p}}$가 수렴한다 $\Leftrightarrow p > 1$

• 증명 (p = 1)
  조화급수 $\sum{\frac{1}{n}}$은 발산하는가?
  $\sum\limits^{N}{\frac{1}{n}} = 1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}) + (\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+ \frac{1}{8})+ ...$
  $\ge 1+\frac{1}{2} + (\frac{1}{4}+\frac{1}{4})+ (\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+ \frac{1}{8})+...$
       $= 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...$
  = 1+$\frac{N}{2}$
  $(1+\frac{N}{2})$은 발산하므로
  따라서, 비교판정법에 의해, $\sum{\frac{1}{n}}$도 발산
• 증명 (p > 1)
  $\sum\limits^{N}{\frac{1}{n^p}} = \frac{1}{1^p}+(\frac{1}{2^p}+(\frac{1}{3^p})+(\frac{1}{4^p} + \frac{1}{5^p}+\frac{1}{6^p}+\frac{1}{7^p})+ ...$
  $\le 1+(\frac{1}{2^p} + \frac{1}{2^p})+(\frac{1}{4^p}+ \frac{1}{4^p}+\frac{1}{4^p}+\frac{1}{4^p})+...$
       $= 1+\frac{1}{(2^{p-1})^1}+\frac{1}{(2^{p-1})^2}+\frac{1}{(2^{p-1})^{3}}+...$
  = 공비 r = $\frac{1}{2^{p-1}} = 2^{1-p}$인 기하급수 $\sum\limits^{N}{(2^{1-p})^{n-1}}$
      -> p > 1이라면, r < 1
  즉, $\sum\limits^{N}{(2^{1-p})^{n-1}}$는 수렴하므로,
  by 비교판정법, $\sum{\frac{1}{n^p}}$는 p>1일때 수렴