[해석학](10)[단조 & MCT]

 

Monotone (단조)

$(a_n)$은 다음과 같을 때 단조이다

• increasing (단조 증가): $\forall n, \ a_n \le a_{n+1}$
• decreasing (단조 감소): $\forall n, \ a_n \ge a_{n+1}$

 

단조수렴정리 (Monotone Convergence Theorem (MCT))

monotone이고 bounded인 수열은 항상 수렴한다.
    -> 극한값 L을 추측할 필요 없이 수열이 수렴함을 알 수 있다!!

• 증명: L = SupA라고 가정하고 풀기
  $(a_n)$이 위로 유계, 단조증가수열이라 하자.
  $(a_n)$은 bounded & 공집합이 아니므로,
  by AoC, SupA가 존재한다.
  L = SupA라고 하자.
       $\forall n \in \mathbb{N}, \ L \ge a_n \ \Rightarrow L- a_n \ge 0$
       $\exists n_0 \in \mathbb{N}, \ L - \epsilon < a_{n_0} \Rightarrow L-a_{n_0} < \epsilon$
  따라서, $0 \le |L-a_{n_0}| < \epsilon$
  이때, $(a_n)$이 monotone이므로,
  $\forall n \ge n_0, \ |L-a_n| < |L-a_{n_0}|<\epsilon$
  따라서, $|L - a_n|<\epsilon \Rightarrow a_n \to L = SupA$

예) $a_n = (1+\frac{1}{n})^n$은 수렴하는가?
    1. bounded?
        이항정리에 의해,
        $(1+\frac{1}{n})^n = \sum{\binom{n}{k} \frac{1}{n^k}} = \sum{\frac{n!}{k!(n-k)!n^k}}$
        $= \sum{\frac{1}{k!}\cdot (\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{n\cdot n\cdot ... \cdot n})} = \sum{\frac{1}{k!}\cdot (\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdot...\cdot\frac{n-k+1}{n}\cdot)} \le \sum{\frac{1}{k!}}$
        $\sum{\frac{1}{k!}} \le 1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3\cdot2}+...+\frac{1}{n(n-1)}$
        $= 2 + (1-\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+...+(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}) = 3 - \frac{1}{n}$
        즉, $(1+\frac{1}{n})^n < 3-\frac{1}{n} < 3$이다.
        따라서 $(1+\frac{1}{n})^n$의 상계가 3으로 존재하므로 bounded above임
    2. monotone?
        $a_n$의 n+1개의 숫자에 대해 AM-GM을 써서 해보자!
        WTS: $a_n \le a_{n+1}$ 즉, $(1+\frac{1}{n})^n \le (1+\frac{1}{n+1})^{n+1}$
       

        AM = $\frac{n \cdot (1+\frac{1}{n})+1}{n+1} = \frac{n+2}{n+1} = 1+\frac{1}{n+1}$
        GM = $\sqrt[n+1]{(1+\frac{1}{n})^n \cdot 1} = ((1+\frac{1}{n})^n)^{\frac{1}{n+1}}$
        AM > GM이므로,
        $1+\frac{1}{n+1} > ((1+\frac{1}{n})^n)^{\frac{1}{n+1}}$
        $\Rightarrow (1+\frac{1}{n+1})^{n+!} > (((1+\frac{1}{n})^n)^{\frac{1}{n+1}})^{n+1}$
        $\Rightarrow (1+ \frac{1}{n+1})^{n+1} > (1+\frac{1}{n})^n$
    ($a_n$)은 단조 증가 & bounded이므로,
    MCT에 의해, ($a_n$)은 수렴한다.

 

예) 점화식 $a_1=1, \ a_{n+1} = \frac{1}{2}(a_n+\frac{2}{a_n})$이 수렴하는가?
    1. bounded?
        AM-GM을 사용하면
        $a_{n+1} = \frac{1}{2}(a_n+\frac{2}{a_n}) > \sqrt[2]{a_n\cdot\frac{2}{a_n}} = \sqrt{2}$
        즉, $n\ge 1$일떄, $a_{n+1}$은 항상 $\sqrt{2}$보다 크므로, bounded below
    2. monotone?
        $a_{n+1}-a_n$의 부호가 항상 일정하면 된다.
        $a_{n+1}-a_n = \frac{1}{2}(a_n+\frac{2}{a_n})-\frac{1}{2}(a_{n-1}+\frac{2}{a_{n-1}})$
        $= \frac{1}{2}(a_n-a_{n-1}) - (\frac{a_n-a_{n-1}}{a_{n-1}a_n})$
        $= (a_n - a_{n-1}) (\frac{1}{2} - \frac{1}{a_{n-1}a_n})$
        이때, $a_n\ge \sqrt{2}$이므로, $\frac{1}{2} - \frac{1}{a_{n-1}a_n} \ge 0$이다.
        즉, $a_{n+1}-a_n$의 부호와 이전의 차이 $a_n-a_{n-1}$의 부호는 같다.
        따라서, 첫번째 항을 제외하고 항상 증가, 감소한다.
            (실제로 ($a_n$)은 계속 감소한다)
    -> MCT에 의해 ($a_n$)은 수렴한다
    3. 극한값은?
        극한값을 b라고 하자.
        $\lim{ a_{n+1}} = \lim{\frac{1}{2}(a_n+\frac{2}{a_n})}$
        $\Rightarrow b = \frac{1}{2}(b+\frac{2}{b})$
        $\Rightarrow b^2 = 2$
        $(a_n) > \sqrt{2}$이므로, $\lim{a_n}\ge \sqrt{2}$
        즉, $a_n \to \sqrt{2}$

 

참고) 산술-기하 평균 부등식 (AM-GM)
    AM > GM
    $\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n}$

 

참고) monotone임을 증명하는 방법들
    1. 산술 - 기하 평균 부등식을 사용
    2. f'(x) > 0나 f'(x) < 0임을 보이기