[군론](22)[abelian 단순화]

 

FIT (First Isomorphism Theorem)

$\phi : G \to G'$ homomorphism일떄,
$G / \ker{\phi} \cong Im(\phi)$
    자세한 증명은 다음에...

 

보통 어떤 두 군이 동형임을 밝히고 싶을 떄 사용

1. 두 군 사이에 사상을 잡고
2. hom을 보이고
   단, Im = 목표 군 을 보이기 위해선
   surjective도 보여야 함
3. quotient랑 Im랑 FIT로 동형이라 함

 

direct product와 Quoitent의 성질

$G_i$가 각각 군이고, $H_i \unlhd G_i$일떄,
$(G_1 \times G_2) / (H_1 \times H_2) \cong (G_1/H_1) \times (G_2 / H_2)$

• • f is hom?
    $f((a_1, a_2))f((b_1, b_2)) = (a_1H_1 \times a_2H_2) (b_1H_2 \times b_2H_2)$
    $\Leftrightarrow (a_1H_1 \cdot b_1H_1 , \ a_2H_2 \cdot b_2H_2) = ((a_1b_1)H_1, \ (a_2b_2)H_2)$
    $\Leftrightarrow f(a_1b_1, a_2b_2)$
    -> 따라서 hom.
  • f is surjective?
    $\forall (g_1H_1 \times g_2H_2) \in (G_1 / H_1) \times (G_2/H_2)$에 대해,
    $\exists g_1 \in g_1H_1, \ \exists g_2 \in g_2H_2$이므로
    전사함수이다.by FIT,
    $(G_1 \times G_2) / \ker(\phi) \cong (G_1/H_1) \times (G_2 / H_2)$
    $\Leftrightarrow (G_1 \times G_2) / (H_1 \times H_2) \cong (G_1/H_1) \times (G_2 / H_2)$증명 (FIT를 쓰자...)
    $f: (G_1 \times G_2) / (H_1 \times H_2) \to (G_1/H_1) \times (G_2 / H_2)$라 잡고
    f$((g_1, g_2)) = (g_1H_1 \times g_2H_2)$
  $\ker{(\phi)} = {(g_1, g_2) \ | \ g_1H_1 \times g_2H_2 = H_1 \times H_2}$
      $= H_1 \times H_2$
  f가 surjective이므로, 치역 = 공역
      $Im(\phi) = (G_1/H_1) \times (G_2 / H_2)$
  
  by FIT, 
  $(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z})/\braket{(a, b)} \cong Im(\phi)$
  $\cong \mathbb{Z}_d \times \mathbb{Z}$ (surjective)

 

single generator에 대한 정리

$(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z})/\braket{(a, b)} \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_{\gcd(a, b)}$

• 증명
  gcd(a, b) = d라고 하자.
  $\exists a', b' \in \mathbb{Z}$ s.t. a = da', b = db'
      단, gcd(a', b') = 1
  
  $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$를 (a', b'), (x, y) 기저로 나타내보자.
  $A = \begin{pmatrix} a' & x \ b' & y \end{pmatrix}$ 단, 정수를 생성해야 하므로, detA = 1
      이떄, gcd(a', b') = 1이므로, 베주방정식에 의해,
      detA = a'y + b'x = 1인 x, y가 항상 존재.
  표기의 편의를 위해 (a', b') = v1, (x, y) = v2라 하자.
  
  $\phi: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_d \times \mathbb{Z}$
       $\phi(mv_1 + nv_2) = (\bar{m}, n)$
       (단, $\bar{m} \equiv m \ (mod \ d)$)
  
  1. hom?
     $\phi(m_1v_1 + n_1v_2) + \phi(m_2v_1 + n_2v_2) = (\bar{m_1}, n_1) + (\bar{m_2}, n_2)$
     $= (\bar{m_1}+\bar{m_2}, n_1+n_2) = (\overline{m_1+m_2}, n_1+n_2)$
     $= \phi(m_1v_1+m_2v_1 + n_1v_2 + n_2v_2)$
     따라서 homomorphism
  2. surjective?
     그냥 주어진 ($\bar{m}$, n)에 v1, v2 벡터만 곱한 걸
     $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$에서 찾기만 하면 됨
     -> 전사임by FIT,
     $(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z})/\braket{(a, b)} \cong Im(\phi)$
     $\cong \mathbb{Z}_d \times \mathbb{Z}$ (surjective)
  ker$\phi$ = {$mv_1 + nv_2 \ | \ m \equiv 0 \ (mod \ d), \ n = 0$}
  = {$kdv_1 + 0v_2 \ | \ k \in \mathbb{Z}$}
  이떄, v1 = (a', b')이고, (a, b) = d(a', b')이므로,
  $\Rightarrow {kdv_1} = {k(a, b)} = \braket{(a, b)}$
  
  by FIT, 
  $(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z})/\braket{(a, b)} \cong Im(\phi)$
  $\cong \mathbb{Z}_d \times \mathbb{Z}$ (surjective)

 

isom identity for product

$\mathbb{Z}n \times \mathbb{Z}_m \cong \mathbb{Z}{\gcd(m, n)} \times \mathbb{Z}_{lcm(m, n)}$

• 증명
  m, n의 소수의 합집합을 {$p_1, \ p_2,\ ,\ ...,\ p_k$}라고 하자.
  각각을 primary form으로 나타내면...
       중국인의 나머지 정리 사용 군론 21 참고
  $\mathbb{Z}m \cong \mathbb{Z}{p_1^{a_1}} \times ... \times \mathbb{Z}{p{k}^{a_{k}}}$, $\mathbb{Z}n \cong \mathbb{Z}{p_1^{b_1}} \times ... \times \mathbb{Z}{p{k}^{b_{k}}}$ (단, $a_k, \ b_k \ge 0$)
  $\Rightarrow \mathbb{Z}n \times \mathbb{Z}_m \cong (\mathbb{Z}{p_1^{a_1}} \times ... \times \mathbb{Z}{p{k}^{a_{k}}}) \times (\mathbb{Z}{p_1^{b_1}} \times ... \times \mathbb{Z}{p_{k}^{b_{k}}})$
  direct product는 교환법칙이 성립하므로,
  순서를 각 pi의 지수 ai, bi를 비교해 바꾸면...
  $\mathbb{Z}n \times \mathbb{Z}_m \cong (\prod\limits^{k}{\mathbb{Z}{p_i^{\max(a_i, \ b_i)}}} )\times( \prod\limits^{k}{\mathbb{Z}_{p_i^{\min(a_i, \ b_i)}}})$
  이떄, 각각 최대공약수, 최소공배수의 성질을 이용하면...
      최대공약수 = 약수 중에서 제일 큰 것
          즉, gcd = $\prod{p_i^{min(a_i,\ b_i)}}$
      최소공배수 = 배수 중에서 제일 작은 것
          즉, lcm = $\prod{p_i^{max(a_i,\ b_i)}}$
  즉, 중국인의 나머지 정리를 다시 쓰면,
  $(\prod\limits^{k}{\mathbb{Z}{p_i^{\max(a_i, \ b_i)}}} )\times( \prod\limits^{k}{\mathbb{Z}{p_i^{\min(a_i, \ b_i)}}}) \cong \mathbb{Z}{gcd} \times \mathbb{Z}{lcm}$이 된다
  -> $\mathbb{Z}n \times \mathbb{Z}_m \cong \mathbb{Z}{gcd(m, n)} \times \mathbb{Z}_{lcm(m, n)}$

 

예제

[[번외) quotient group 단순화하기]]