[군론](21)[fundemental theorem of finitly generated abelian]

 

finitely generated

G의 모든 원소를 선형 결합으로 표현할 수 있는 finite subset S가 존재하면
G는 finitely generated 될 수 있다고 한다
    $\exists S = {x_1,\ x_2,\ ...,\ x_n} \subseteq G$ s.t $\forall g \in G, \ g = a_1x_1 + a_2x_2 +...+a_nx_n$ ($a_i \in \mathbb{Z}$)

 

예) $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$
    $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} = {(a, b) \ | \ a,b \in \mathbb{Z}}$
    $\Leftrightarrow a(1,0)+b(0,1)$
    $\Leftrightarrow \braket{(1,0), (0,1)}$
    즉, {(1, 0), (0, 1)}이 S라는 것이다!

 

예) $\braket{\mathbb{Q}, +}$
    귀류법으로 증명하겠다.
    finitely generated 된다고 가정하자
    $\Leftrightarrow \exists \braket{q_1,\ q_2,\ ...,\ q_n} = \mathbb{Q}$
    즉, 임의의 $q_i$를 $q_1, \ q_2, \ ...,\ q_n$의 합으로 나타낼 수 있다
    이떄, 각각의 q들은 유리수이므로,
        $q = \frac{b}{a}$ (단, $gcd(a, b) = 1, \ a,b\in \mathbb{Z}, \ a\neq 0$)
    $k = \gcd(a_1,\ a_2,\ ...,\ a_n)$라 할 때,
    $q_i = \frac{b_1}{a_1} + \frac{b_2}{a_2} + ... + \frac{b_n}{a_n} = \frac{c_i}{\gcd{(a_1, \ a_2, \ ...,\ a_n)}} = \frac{c_i}{k}$
    즉, generated되는 집합은 $\frac{1}{k}\mathbb{Z}$이다
    이제 다른 유리수인 $\frac{1}{k+1}$을 보자.
    $\frac{1}{k+1} \in \mathbb{Q} \subseteq \frac{1}{k}\mathbb{Z}$여야 하므로,
    $\frac{1}{k+1} = \frac{c}{k}$
    $\Rightarrow k+1 | k$ <- 모순
    따라서 finitely generated 안됨

 

예) $\braket{\mathbb{R}, +}$
    아까 $\braket{\mathbb{Q}, +}$이 fintiely generated가 안되는걸 알았고
    $\braket{\mathbb{Q}, +} \subseteq \braket{\mathbb{R}, +}$이므로,
    $\braket{\mathbb{R}, +}$도 finitely generated 안됨

 

direct sum & direct product

$G_1, \ G_2, \ ...,\ G_n$이 각각 군이라고 할 때,
    $\prod{G_i} = G_1\times G_2 \times ... \times G_n = {(g_1,\ ...,\ g_n) \ | \ g_i \in G_i}$
를 direct product라고 한다.

 

이때, 각 G가 abelian이라면, direct sum을
    $\oplus{G_i} = G_1 + G_2 + ... + G_n$
으로 나타낸다
-> 즉, direct product의 특수 케이스가 direct sum

• 연산
  (a1, ..., an) $\cdot$ (b1, ..., bn) = (a1b1, ..., anbn)

direct product는 군이다

• 증명
  1. assosiative?
     각각의 G가 군이므로 상속받음
     (직접 원소 a, b, c 잡고 보일수도 있는데 생략)
  2. closure?
     각각의 G가 군이므로 $g_i$에 대해 closed
     -> 당연함
  3. identity?
     ($e_1,\ e_2,\ ...,\ e_n$)
  4. inverse?
     $(g_1,\ g_2,\ ...,\ g_n)^{-1} = (g_1^{-1},\ g_2^{-1}, \ ...,\ g_n^{-1})$
  -> 따라서 얘도 군임

 

$\mathbb{Z}m \times \mathbb{Z}_n \simeq \mathbb{Z}{mn} \Leftrightarrow \gcd(m,n)=1$

중국인의 나머지 정리의 대수학 버전이다
    정수론 9에서 봤던 건 gcd(m,n) = 1일때
    0~mn 사이에 유일한 해를 보장하는 건데
    이 유일한 해를 만드는 과정을 function으로 잡아서
    동형임을 보일 수 있는 것이다.

• (=>) 증명
  $\mathbb{Z}m\times \mathbb{Z}_n \simeq \mathbb{Z}{mn}$이라 가정하자.
  isomorphic의 성질에 따라, 위수가 mn인 원소의 개수는 같은 것이다.
  $\mathbb{Z}_{mn}$에는 $\pi(mn)$만큼이 있음.
  그러나, $\mathbb{Z}_m\times \mathbb{Z}_n$의 원소의 최대 위수 = lcm(m, n) = $\frac{mn}{\gcd(m,n)}$
  즉, gcd(m, n) > 1이면 위수가 mn인 원소가 존재하지 않음
  -> 따라서, gcd(m, n) = 1
• (<=) 증명
  gcd(m, n) = 1이라 가정하자.
  |(1, 1)| = mn,
  $|\mathbb{Z}m\times \mathbb{Z}_n| = mn$
  $\Rightarrow \mathbb{Z}_m\times \mathbb{Z}_n = \braket{(1, 1)}$
  순환군은 $\mathbb{Z}{\text{해당 위수}}$와 항상 isom하므로,
  $\mathbb{Z}m\times \mathbb{Z}_n \simeq \mathbb{Z}{mn}$

예) $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3$ 과 $\mathbb{Z}_6$?
    (1, 1) -> 1
    (0, 2) -> 2
    (1, 0) -> 3
    (0, 1) -> 4
    (1, 2) -> 5
    (0, 0) -> 6
    (단순히 bijective인 것 뿐만 아니라 연산 성질도 대응된다)

 

예) $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4$와 $\mathbb{Z}_8$
    max order of $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4$ = 4
    그러나 $\mathbb{Z}_8$엔 1,3,7,9가 order 8임
    -> 둘이 isom하지 않음

 

fundamental theorem of finitely generated abelian group

모든 아벨군을 정수 집합 + 순환군으로 표현 가능하다

 

$\forall$ (finitely generated) (abelian) group G에 대해

 

Invarient factor form (V1)

$G \simeq \mathbb{Z}\times ... \times \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}{d_1}\times ... \times \mathbb{Z}{d_k} = \mathbb{Z}^r \times \mathbb{Z}{d_1}\times ... \times \mathbb{Z}{d_k}$
(단, d1 | d2 | ... | dk여야 함)
    즉, 이전 d가 다음 d를 나누는 형태로 나타내야 함

 

이떄
    $\mathbb{Z}$의 수를 rank (= r)
    순환군 direct product를 torsion으로 부른다

 

primary form (V2)

$G \simeq \mathbb{Z}^r \times \mathbb{Z}{p_1^{n_1}}\times ... \times \mathbb{Z}{p_k^{n_k}}$
(단, 각 $p_i$는 소수, 중복은 가능)
    $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4$ 이런거 가능
이떄
    $\mathbb{Z}$의 수를 rank (= r)
    순환군 direct product를 torsion으로 부른다

예) order 12인 abelian 군을 전부 봐보자!

• invarient ver
  12 = 1 x 12 = 2 x 6
       3 x 4나 4 x 3은 3∤4, 4∤3이므로 안됨
  -> $\mathbb{Z}_{12} \simeq \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_6$
• primary ver
  $12 = 4 \times 3 = 2^2 \times 3$
  -> $\mathbb{Z}_{2^2} \times \mathbb{Z}_3 \simeq \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3$

예) $\mathbb{Z}_8 \ vs\ \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4 \ vs \ \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$
    각각은 order 8인 abelian의 각기 다른 invarient form이다
    8 = 2 x 4 = 2 x 2 x 2
        2 | 4
        2 | 2 | 2
    실제로 보면 일부 위수의 원소에서 차이가 나서
    저 3개 다 동형이 아님

 

partition function

order가 $p_1^{n_1}p_2^{n_2}...p_k^{n_k}$인 abelian의 수
= $\prod{n_1 \text{ 을 쪼개는 방법의 수}}$
예) |G| = 200인 아벨군의 수?
    200 = $2^3 \times 5^2$
    3을 쪼개는 방법
        3
        = 1+1+1
        = 1+2
        -> 3개
    2를 쪼개는 방법
        2
        = 1+1
        -> 2개
        -> 3 x 2 = 6개

 

참고) invarient <-> primary 변환

invarient -> primary
그냥 다 밑을 소인수분해해서 나눠버리셈

 

primary -> invarient

1. 각 소수별로 그룹화 & 정렬
2. 오른쪽 정렬 후 상하 곱하기

• 예) $G \cong \mathbb{Z}2 \oplus \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_8 \oplus \mathbb{Z}_3 \oplus \mathbb{Z}_9 \oplus \mathbb{Z}{25}$을 invarient form으로 바꾸셈
  1. 그룹화 & 정렬
     (2, 2, 8), (3, 9), (25)
  2. 오른쪽 정렬 및 곱하기
     2, 2, 8
     3, 9
        25
     -> $\mathbb{Z}2 \times \mathbb{Z}_6 \times \mathbb{Z}{1800}$