[군론](20)[correspondence 정리, cauchy 정리]

 

Natural projection

$N \unlhd G, \ \pi : G \to G/N$인 함수 $\pi(g) = gN$
즉, 임의의 원소를 몫군으로 보내는 함수이다.

 

$\pi$는 전사 homomormphism이다

1. surjective?
   일단 임의의 $gN \in G/N$에 대해
   $\exists g \in gN \subseteq G$ 이므로, 전사함수
2. homomorphism?
   $\forall a, b \in G$
   $\pi(a)\pi(b) = aN \cdot bN$
   $= (ab)N = \pi(ab)$
   따라서 준동형사상임

• ker($\pi$) = {$g\in G \ | \ gN = N$} = {$g\in G \ | \ g \in N$} = N

 

simple group

G의 normal subgroup이 $\emptyset$, G밖에 없으면 G는 simple
-> 약간 정수론의 소수의 입지를 가지고 있다
    G는 더 작은 군으로 분해될 수 없음

• 예) $\mathbb{Z}_p$ (p = 소수)는 simple
• 예) $A_n \ (n \ge 5)$는 simple

 

correspondence 정리

G/N의 부분군은 N을 포함하는 G의 부분군과 일대일대응이다

 

보조정리) f: A->B 전사함수일때, $X\subseteq B, \ f(f^{-1}(X)) = X$

• 증명 ($\subseteq$)
  $\forall y \in f(f^{-1}(X))$에 대해,
  f가 surjective이므로, $\exists a \in A$ s.t $f(a) = y$
  $\Rightarrow f(a) \in f(f^{-1}(X)) \Rightarrow a \in f^{-1}(X) = {x\in A \ | \ f(x)\in X}$
  따라서, 역함수의 정의에 의해, $f(a) = y \in X$
• 증명 ($\supseteq$)
  $\forall y \in X$에 대해,
  f가 surjective이므로, $\exists a \in A,$ s.t $f(a) = y\in X$
  $\Rightarrow a \in f^{-1}(X)$
  $\Rightarrow y = f(a) \in f(f^{-1}(X))$

-> $f(f^{-1}(X)) = X$

- correspondece 정리의 증명
$N\le H \le G$, $K \le G/N$이라 하자
WTS: N을 포함하는 군 -> G/N의 부분군 bijective function을 잡자
    H -> K bijection

• 증명하기 위해선... 단사, 전사를 각각 보일수도 있지만...
  $f^{-1}(f(H)) = H$
  $f(f^{-1}(K)) = K$
  를 보이면 된다

$\pi: G\to G/N, \ \pi(g) = gN$ 함수를 잡자
    이건 아까 증명한대로 surjective homomorphism이다

1. π(H) $\le$ G/N: H를 보내도 여전히 군인가?
   $\pi(H) = {hN \ | \ h \in H} = H/N$
   이때, $\pi$는 homomorphism이므로, $H\le G$에 대한 연산 보존으로
   $H/N \le G/N$
2. $\pi^{-1}(K) \le G$: K를 가져와도 여전히 군인가?
   $K \ni N$ (왜냐하면 몫"군"이니까 identity elt 들어가야 함)
   $\pi^{-1}(K) = {g\in G \ | \ \pi(g) \in K}$
   $\Rightarrow \forall n \in N, \ \pi(n) = nN = N \in K$
   $\Rightarrow n \in \pi^{-1}(K) \Rightarrow N \subseteq \pi^{-1}(K)$
3. $\pi^{-1}(H/N) = H$: 단사
   • $\subseteq$
     $\pi^{-1}(H/N) = {g\ \in G \ | \ \pi(g) \in H/N}$
     $\Leftrightarrow \exists h_1 \in H$ s.t. $gN = h_1N$
     군론 16에서 본 잉여류 성질에 따라 $h_1^{-1}g \in N \le H$
     $\Rightarrow h^1h_1^{-1}g = g \in H$
     $\Rightarrow \pi^{-1}(H/N) \le H$
   • $\supseteq$
     $\forall hN \in H/N$
     $\Rightarrow h \in \pi^{-1}(H/N) = {g\ \in G \ | \ \pi(g) \in H/N}$
     따라서, $H \subseteq \pi^{-1}(H/N)$

     -> $\pi^{-1}(H/N) = \pi^{-1}(\pi(H)) = H$
    4. $\pi(\pi^{-1}(K)) = K$: 전사
        보조정리에 의해, 참
즉, N을 포함하는 군 H와 G/N의 부분군 K에 전단사함수가 존재하므로,
correspondence theorem은 참이다.

 

즉, 이런 성질을 쓸 수 있다.

• $N\le H \le G \Rightarrow H/N \le G/N$
• $N\le H \le G, \ H \unlhd G \Rightarrow H/N \unlhd G/N$
  즉 군의 구조가 몫군에서도 동일하게 보존됨

 

order of gN in G/N

$(gN)^k = N$인 가장 작은 k
    $g^kN = N \Rightarrow g^k \in N$

 

즉, |g|=k ($g^k = e$)인 g의 위수보다 약한 조건
-> |gN| | |g|

 

예) $G = D_4, \ N = \braket{r^2} = {e, r^2}$
    |r| = 4
    rN = {$r, \ r^3$}
    $(rN)^2 = r^2N = N$ -> |rN| = 2 in G/N
    2 | 4

 

cauchy 정리 (abelian일떄)

p | |G| & G is abelian => $\exists a \in G$ s.t. |a|=p (단, p는 소수)
    즉, 소수 p가 G의 위수를 나눔 & 아벨군이면
    해당 소수 위수 p를 가지는 원소 a가 G에 항상 존재

• 증명
  |G| = pn이라고 하자.
  • n=1?
    군론 17에서 라그랑주 정리의 따름정리로 봤듯,
    $|G| = p \simeq \mathbb{Z}_p$
    즉, G는 cyclic이므로, $G = \braket{a}, \ \exists a \in G$
    즉, |<a>| = |a| = p
  • n$\le$k 참이라 할 때, n=k+1?
    1. $\exists x \in G, \ x \neq e, \ p \mid |x|$
       |x| = pm이라 하자.
       $\Leftrightarrow |x^m| = p$ & 위수가 pm이므로, $x^m \neq e$
       따라서 $x^m \in G$이므로, G에 해당 원소가 있음
    2. $\exists x \in G, \ x \neq e, \ p \nmid |x|$
       G/<x> 를 생각해서 귀납법을 사용하자
           이떄, G가 abelian이므로, 항상 부분군은 정규부분군이니 맘대로 몫군을 정의해도 됨
           이때 생기는 몫군 역시 아벨군임!
       |G/<x>| = |G| / |<x>| = |G| / |x| = $\frac{p(k+1)}{|x|}$
           이떄, |x|는 p의 배수가 아니므로,
           |G/\<x>| 는 p의 배수가 됨
       <x>는 $x\neq e$이므로, 적어도 2개의 원소를 지님
           $\Rightarrow$|G/\| $< |G|$
       이떄, 귀납 가정에 의해, $|g| = |\braket{g}| = p$인 $\exists g\braket{x} \in G/\braket{x}$존재
       $(g\braket{x})^p = g^p\braket{x} = \braket{x} \Rightarrow g^p \in \braket{x}$$\Rightarrow g^{p|x|} = x^{|x|t} = e$
           $\Leftrightarrow g^p = x^t$
       즉, 다르게 묶으면, $(g^{|x|})^p = e$
       -> $g^{|x|}$가 위수가 p인 G의 원소가 된다!
       
       참고) 다르게도 증명 가능
       coset의 order는 원래 원소의 order을 나누므로,
       |g<x>| | |g|
       $g^{|g|} = g^{|g\braket{x}|k} = e$ & $g^k \neq e$
       $\Rightarrow g^k\in G$ s.t. $|g^k| = p$