[해석학](7)[수열과 수렴]

 

수열과 수렴

 

수열 (sequance)

$(a_n): \ \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}$인 함수 ($a_n$)
    예) $(\frac{1}{n}) = 1, \ \frac{1}{2}, \ \frac{1}{3}, \ ...$

 

수렴 (convergence)

어떤 ε에 대해 N이 존재하여 N보다 큰 모든 n에 대해 L과의 차이가 ε보다 작다
    $\leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \ (n \ge N \Rightarrow |a_n-L|<\epsilon) \text{인 }N \in \mathbb{N}$이면 $\lim\limits_{n \to \infty} = L$

 

증명 과정

1. ε > 0 이라 하고
2. 극한을 통해 L을 추측하자
3. 어떤 좋은 N을 잡아서
   단, 좋은 N을 잡기 위해선 아래의 식을 봐야 함
4. |an - L| < ε임을 보이자.
   참고) 증명 꿀팁
   다른 간단한 식으로 바꿀 수 있다 (부등식의 방향을 주의!)
   예) $\frac{1}{n^2} < \frac{1}{n}$이므로, $\frac{1}{n^2} \to \frac{1}{n} < \epsilon$으로 바꿀 수 있다
   |식1 + 식2| < ε의 꼴이라면 |식1|<$\frac{1}{2}\epsilon$, |식2|<$\frac{1}{2}\epsilon$로 풀고 max{N1, N2}로 구할 수 있다

• 예) $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{n} = 0$임을 증명하라
  ε > 0이라 잡고 $N \in \mathbb{N}$을 잡아보자
  $\forall n \ge N, \ |a_n - 0| = |\frac{1}{n}| = \frac{1}{n} < \epsilon$인 N을 찾고 싶다.
  즉, $n > \frac{1}{\epsilon}$이므로, N을 $\frac{1}{\epsilon}$보다 큰 자연수로 잡으면 된다.
      by 아르키메데스 성질, 이런 N은 항상 존재한다
  N > $\frac{1}{\epsilon}$을 잡으면
  $|a_n - 0| = \frac{1}{n} \le \frac{1}{N} < \epsilon$이므로
  $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{n} = 0$
  
  
• 예) $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{2n+1}{3n+5} = \frac{2}{3}$임을 증명해라
  ε > 0이라 하자.
  $|a_n - \frac{2}{3}| = |\frac{2n+1}{3n+5}-\frac{2}{3}| = \frac{7}{9n+15} < \epsilon$를 만족하는 N을 잡아야 한다.
  $\frac{7}{9n+15} \le \frac{7}{9n}< \epsilon$
      (식의 간단함을 위해 분수의 성질을 사용)
  이떄, $\frac{7}{9N}<\epsilon \Rightarrow N > \frac{7}{9\epsilon}$이렇게 N을 잡는다면
  $\frac{7}{9n+15} \le \frac{7}{9n} \le \frac{7}{9N} < \epsilon$이므로
  $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{2n+1}{3n+5} = \frac{2}{3}$
  
  
• 참고) 극한값 L을 잘못 잡았을 때
  $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{2n+1}{3n+5} = 1$이라고 했다 하자.
  임의의 ε > 0에 대해,
  $|a_n-1| = \frac{n+4}{3n+5} < \frac{n+4}{3n} = \frac{1}{3} + \frac{4}{3n} < \epsilon$를 만족하는 N이 존재해야 함
  그러나, $\frac{4}{3n}>0$이므로, $\frac{1}{3}>ε$에 대해 N을 찾을 수 없음.
  -> 따라서 $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{2n+1}{3n+5} \neq 1$