[해석학](5)[실수의 특성]

 

ℝ의 특성

1. 체(field): +, ×와 결합, 교환, 분배법칙 성립, 항등원, 역원 존재
   단, 이때 곱셈에 대해 0은 예외로 둔다
2. 비교 가능성(ordered field): 모든 원소끼리 비교 가능
   같다, 크다, 작다
   예) 복소수에서는 크기 비교가 안됨 i > 2 ????
3. 완비성 공리(AoC): 공집합이 아닌 위로 유계인 집합은 상한을 가짐

-> 이 3개를 모두 만족하는 체는 ℝ밖에 없다

 

$\sqrt{2}$는 ℝ에서 존재하는가?

$\Leftrightarrow a^2 = 2$인 $a \in ℝ$가 존재하는가?
$\Leftrightarrow A = {t \in ℝ \ | \ t^2 < 2}$일때, 상한 = $\sqrt{2}$인가?

• 증명
  A는 AoC에 의해 SupA가 존재한다.
      공집합이 아님: 1 \in A
      위로 유계: 상계 2가 존재
  $a = SupA$라고 하자.
  1. $a^2<2$
     0 < k < 1인 작은 k를 가정하자 ($k^2<k$)
     $(a+k)^2=a^2+2ak+k^2 < a^2+2ak+k = a^2+(2a+1)k$
     $k < \frac{2-a^2}{2a+1}$인 k를 잡으면, $(a+k)^2 < 2$
     따라서 $(a+k) \in A$가 되어버린다.
     그러나, a가 상한이고, a < a+k이므로, 모순
     -> $a^2 \not< 2$이다
  2. $a^2 > 2$
     k>0인 k를 가정하자
     $(a-k)^2 = a^2-2ak+k^2 > a^2-2ak$
     $k = \frac{a^2-2}{2a}>0$인 k를 잡으면 $(a-k)^2>2$
     그러나, a가 상한인데, a-k < a이라 a-k가 상한이 되므로, 모순
     -> $a^2 \not> 2$
     
     따라서 $a^2 \not< 2, \ a^2 \not> 2$이므로, $a^2 = 2$이고,
     AoC에 의해 상한 $a$가 존재하므로,
     $\sqrt{2}$는 $\mathbb{R}$에서 존재함.