[해석학](3)[완비성 공리 & 아르키메데스 성질]

 

완비성 공리 (axiom of completeness)

공집합이 아닌 실수 안의 집합 A에 대해,
A가 위로 유계면 실수에서 상한이 항상 존재한다
-> A가 아래로 유계면 실수에서 하한이 항상 존재한다

 

즉, 실수애서 상한/하한의 존재성을 보장하는 공리이다.
    실수 직선 내에선 빈틈이 없다

• 유리수에서 완비성 공리는 없다
  예) A = {$r \in \mathbb{Q} \ | \ r^2 < 2$}
      상한이 $\sqrt{2}$임은 잘 보이는데...
      $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$이므로, 유리수 내에서 상한은 없다
  -> 유리수와 실수의 가장 큰 차이가 바로 완비성 공리이다!

 

아르키메데스 성질 (archimedean property)

임의의 수보다 더 큰 수가 항상 존재한다
    $\forall x \in \mathbb{R}, \ \exists n \in \mathbb{N}, \ x<n$
임의의 수보다 더 작은 수가 항상 존재한다
    $\forall \epsilon > 0, \ \exists n \in \mathbb{N}, \ \frac{1}{n}<\epsilon$

• 증명 (더 큰 수 존재)
  만약 $\exists x \in \mathbb{R}$일때 $x<n$인 정수 n이 존재하지 않는다면
  x는 자연수의 상계가 됨
  -> 즉, 자연수가 위로 유계가 됨
  
  완비성 공리에 의해 자연수 집합은 위로 유계이므로, 상한 M이 존재함
  ε = 1이라고 잡고 상한의 동치 조건을 사용하면,
  $M-1<a$ (단, $a \in \mathbb{N}$) $\Rightarrow M < a + 1$
  이때, a+1도 자연수이므로, M이 자연수의 상계라는 것에 모순
  -> 따라서 $\forall x \in \mathbb{R}, \ \exists n \in \mathbb{N}, \ x<n$
• 증명 (더 작은 수 존재)
  이건 아까와 같이 증명할 수도 있으나,
  $\forall \epsilon > 0, \ \exists n \in \mathbb{N}, \ \frac{1}{\epsilon}<n$으로 바꿔주면,
  아까 증명한 것과 동일한 명제가 됨

예) A = ${\frac{1}{n} \ | \ n \in \mathbb{N}}$에서 하한은 0인가?
    1. 0이 A의 하계인가?
        n이 자연수이므로,
        모든 n에 대해, 1/n > 0이다.
        따라서 0은 A의 하계 -> A는 아래로 유계이다.
    2. 0이 A의 하한인가?
        완비성 공리에 의해, A는 하한 m을 가진다.
        아르키메데스의 원리에 의해,
            $\forall \epsilon > 0, \ \exists n \in \mathbb{N}, \ \frac{1}{n}<\epsilon$
        즉, 임의의 양수 ε는 $\frac{1}{n}<\epsilon$ 에 의해 하계가 될 수 없으므로, 0이 하계 중 가장 큰 값 -> 하한이 됨