[해석학](2)[유계&상한/하한]

 

유계

어떤 집합 A가 있을 때,

• 위로 유계(bounded above): 모든 A의 원소보다 큰 수 b가 존재함
  $\forall a \in A, \ \exists b \in \mathbb{R}, \ a \le b$
  상계(upper bound) = b
• 아래로 유계(bounded above): 모든 A의 원소보다 작은 수 b가 존재함
  $\forall a \in A, \ \exists b \in \mathbb{R}, \ a \ge b$
  하계(lower bound) = b

 

상한과 하한

어떤 집합 A가 있을 떄,

• 상한(superemum): 상계 중 제일 작은 상계 (=최소상계)
  1. sup(A)은 상계이다.
  2. $sup(A) \le \forall 상계$
• 하한(infimum): 하계 중 제일 큰 하계 (최대하계)
  1. inf(A)은 하계이다.
  2. $inf(A) \ge \forall 하계$

참고) 상한과 최댓값
    상한은 A에 포함되는 것과 상관없이 모든 원소보다 크거나 같으면 됨
    그러나, 최댓값은 A에 있는 원소 중에서 크거나 같아야 함
    -> 즉, 상한은 최댓값의 일반형이라 할 수 있음
    예) (0, 2)에서 최댓값은 없으나, 상한은 2로 존재

 

이떄, 상한과 하한은 유일하다

• 증명 (상한)
  서로 다른 상한 s1, s2가 존재한다고 하자.
  이떄, s2 ∈ 상계, s1 = 상한이므로,
     s1 ≤ s2
  반대로, s1 ∈ 상계, s2 = 상한이므로,
     s1 ≥ s2
  따라서 s1 = s2 이므로, 모순
  -> 상한은 유일하다.
  (하한도 같은 방식으로 증명 가능)

상한/하한의 동치 명제

임의의 집합 A에 대해 상계 M, 하계 m이 주어졌을 때,

• M = 상한 $\Leftrightarrow$ 상계 M, $\forall \epsilon > 0, \ \exists a \in A,\ M-\epsilon < a$
  ![[Pasted image 20260311130556.webp|342]]

• m = 하한 $\Leftrightarrow$ 하계 m, $\forall \epsilon > 0, \ \exists a \in A,\ a<m+\epsilon$

어떤 집합의 상한/하한을 증명하기 위해서는
    방법 1. 상한/하한의 정의를 사용
    방법 2. 동치 명제를 사용

 

증명 (상한)

• (=>): 상한이면 모든 양수 ε에 대해, M-ε보다 큰 a가 A안에 존재한다
  귀류법으로 증명하자!
  부정: 어떤 양수 ε에 대해선 M-ε보다 큰 a가 없다
     $\exists \epsilon > 0, \ \forall a \in A,\ M-\epsilon \ge a$
  즉, 상계의 정의에 의해, M-ε가 상계가 됨
  그러나, M > M-ε이므로, M-ε가 상한이 된다. -> 모순
  -> 따라서 상한이면 M-ε보다 큰 a가 A안에 존재해야 함
• (<=): 모든 양수 ε에 대해, M-ε보다 큰 a가 A안에 존재하면 M은 상한이다
  이것도 귀류법으로 증명하자!
  부정: M이 상한이 아니다
     b < M인 상계 b가 존재한다
  만약 b < M-ε < M인 ε를 잡으면,
  전제에 의해, b < M-ε < a인 $a\in A$가 존재
  그러나, b는 상계이므로 A의 원소보다 크거나 같아야 함 <- 모순
  -> 따라서 M-ε보다 큰 a가 A안에 존재하면 M은 상한이어야 함