[해석학](1)[ε-δ 문법]

 

ε - δ 문법

대부분의 증명은 다음의 문법을 따름

1. 임의의 양수 ε가 주어졌다 하자
2. ε에 대한 값 δ을 정하고
3. δ가 δ<ε를 만족함을 보임

 

수열의 수렴

수열 $a_n$에서 임의의 양수 ε에 대해 N번째 이상의 수열의 값과 L이 ε보다 작다
    $\forall\epsilon>0,\ \exists N \in \mathbb{N} (such \ that \ n\ge N) \Rightarrow |a_n-L| < \epsilon$
면 수열 $a_n$은 $L\in \mathbb{R}$로 수렴한다고 한다.

 

등호의 ε 표현

실수에서 a=b와 동치는 임의위 양수 ε보다 a, b의 차가 더 작은 것이다.
    $a,b \in \mathbb{R}, \ a=b \ \Leftrightarrow \ \forall \epsilon > 0, \ |a-b|<\epsilon$

• 증명 (<=)
  a≠b이고, |a-b| = d라고 해보자.
  만약 ε0를 d/2라고 잡는다면, |a-b| = d > d/2 이므로,
  어떤 양수 ε0에 대해선 $\forall \epsilon > 0, \ |a-b|<\epsilon$를 만족하지 않으므로, 모순
  -> 따라서 $\forall \epsilon > 0, \ |a-b|<\epsilon \Rightarrow \ a=b$

 

귀류법

결론을 부정하여 모순을 이끌어내 원래 결론을 증명하는 방법

해석개론에서 뭔가 증명이 안된다면 귀류법을 적용해보셈

$\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$ 인가?

$\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$
$\sqrt{2}$는 유리수가 아닌 무리수에 들어감

• 증명 (용어는 정수론 3 참고)
  $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$라고 하자.
  유리수의 정의에 의해, $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ (단, $p,q \in \mathbb{Z}, \ gcd(p,q)=1$)
  $\sqrt{2}$q = p
  $\sqrt{2}$는 제곱하면 2가 되는 수니까... 이걸 이용하면 $2q^2=p^2$
  -> 2 | $p^2$, 즉, 2 | p
  따라서 p는 짝수이며 p = 2k (k는 정수)로 나타낼 수 있다.
  $2q^2=p^2 \Rightarrow 2q^2=4k^2 \Rightarrow q^2=2k^2$
  즉, 2 | q 이다.
  그러나, gcd(p, q) = 2 ≠ 1 이므로, 전제에 모순된다.
  -> 따라서 $\sqrt{2}$은 유리수가 아니다

이와 같은 방법으로 임의의 $\sqrt{소수}$가 유리수가 아님을 증명 가능