[군론](7)[순환군]

 

<a>

$<a> = {a^n \ | \ n \in \mathbb{Z}}$
    = {e, a, a^2, ...}

 

$\forall a \in G, \ <a> $은 G의 부분군이다
    a는 G의 원소이고 closure에 의해 당연함

 

$\forall a \in G, \ |a|=|<a>|$

• 증명
  1. |a| = m (위수가 유한)
     <a> = {$e, a, ..., a^{m-1}$}이고 중복이 없음을 보이자!
     • <a>의 임의의 원소는 모두 다르다
       $a^i=a^j$라 가정하자. (단, i, j는 정수, 0≤i<j≤m-1)
       $\Rightarrow a^{i-i}= a^0=e = a^{j-i}$
       그러나, m은 위수의 정의에 의해 a^m = e인 가장 작은 정수지만,
       0 < j-i ≤ m-1이므로, 모순.
       -> 임의의 원소 $a^i$는 중복이 없다
     • <a>의 모든 원소는 {$e, a, ..., a^{m-1}$}안에 있다
       임의의 정수 k에 대해, $a^k \in <a>$를 뽑아보자.
       k = qm + r (0≤r<m)
       $a^k = a^{qm+r} = (a^m)^q \cdot a^r = e\cdot a^r = a^r$
       즉, 임의의 k에 대해, $a^k \in$ {$e, a, ..., a^{m-1}$}
       -> 즉, modular마냥 $a^k$의 값은 0~m-1 사이로 순환하며 나옴

                -> 따라서, |a| = |<a>| = m

• 1. |a| = ∞ (위수가 무한)
     |<a>| = ∞임을 보이자!
     $\Leftrightarrow a^i \neq a^j \ (단, i \neq j)$을 보이기
        왜냐하면, 모든 정수가 각자 다른 a^i를 가리키면 정수의 개수는 무한이므로, |<a>| = ∞이 됨
     $a^i = a^j$라고 가정하면
     $\Rightarrow e = a^{j-i}$
     그러나, |a| = ∞이므로, j-i가 존재할 수 없음. -> 모순
     따라서 $a^i \neq a^j \ (단, i \neq j)$이므로,
     -> |a| = |<a>| = ∞

 

cyclic group (순환군)

G = <a>인 a가 G 안에 존재하는 군
    a를 generator(생성자)라고 한다

예) <ℤ,+> = <1> = <-1>
    <1> = {..., (1-1=0), 1, (1+1=2), ...}
    <-1> = {..., -1, ((-1)-(-1)=0), ...}
    이처럼 연산으로 정수 생성 가능

 

모든 순환군의 부분군은 순환군이다

• 증명
  G = <a>, H≤G라고 하자.
  1. H = {e}일떄,
     {e} = <e>이므로, H는 순환군이다.
  2. H ≠ {e}일때, (2개 이상의 원소)
     b≠e인 b가 H 안에 존재한다.
     b∈H⊆G이므로, $b=a^m$인 m이 G에 존재함 (G = 순환군)
     m을 $a^m \in H$인 가장 작은 양의 정수라 한다면, (자연수의 정렬성...)
     H도 군이므로, closure에 의해, $<a^m> \subseteq H$
     
     $a^n \in H, \ n=qm+r \ (단, 0 \le r < m )$
     $a^r = a^{n-qm} = a^n\cdot (a^{-m})^q$
     이때, $a^n, a^{-m} \in H$이므로, $a^r \in H$
     이떄, m이 $a^m \in H$인 가장 작은 양의 정수라 가정했으므로, r = 0이다.
     따라서 $a^n = (a^m)^q \in <a^m>$
     $\Rightarrow H \subseteq <a^m>$
     
     즉, H = $<a^m>$이므로, H는 $a^m$으로 생성되는 순환군이다.

•  

 

순환군의 부분군의 위수 = $\frac{n}{gcd(n, s)}$

G=<a>인 순환군이고, |G|=n, d|n일떄,
G의 부분군 H(순환군의 부분군이라 순환군)에 대해 $b \in G, \ b = a^s$인 b에 대해
|H| = m이라고 하고 $H = <b>$이라 하자.
이때, |H| = $\frac{n}{gcd(n, s)}$이다.

• 증명
  <b> = |<b>| = |H| = m이므로, b^m = e
  이때, b=a^s이므로, b^m = (a^s)^m = a^{sm}=e
  
  이때, |a| = |<a>| = |G| = n이므로,
  위수의 정의에 의해, n | sm이어야 한다.
  
  n = dr, s = dt라고 한다면 (단, gcd(r, t) = 1)
  n | sm => dr | dtm => r | tm
  gcd(r, t) = 1이므로, r | m이어야 함.
  이때, m은 b^m = e의 최소인 정수여야 하므로, r = m
  즉, |H| = |b| = m = r = n/d = \frac{n}{gcd(n, s)}

예) $<\mathbb{Z}{12}, +>$의 부분군 <8>의 위수를 구하시오
    $|<braket{\mathbb{Z}{12}, +>|$ = 12, <\mathbb{Z}_{12}, +>$ = <1>이다.
    그리고 8 = 1+1+...+1 = 1^8 이므로
    |<8>| = $\frac{n}{gcd(n, s)}$ = $\frac{12}{gcd(12, 8)}$ = $\frac{12}{4}$ = 3
    확인해보면 <8> = {8, 4, 0}이므로 위수가 3 맞다!

 

특정 크기의 순환 부분군

G=<a>인 순환군이고, |G|=n, d|n일떄, 위수가 d인 부분군 H는 <$a^{\frac{n}{d}}$>가 유일하다

• 증명
  1. 존재성 (위수가 d인 부분군이 존재하는가?)
     H = <$a^{\frac{n}{d}}$>라고 하면,
     |H| = $\frac{n}{gcd(n, \frac{n}{d})}$ = $\frac{n}{\frac{n}{d}}$ = d
     즉, 위수가 d인 부분군은 <$a^{\frac{n}{d}}$>로 존재한다
  2. 유일성 (위수가 d인 부분군이 유일한가?)
     임의의 위수가 d인 부분군 H = <$a^r$>을 잡아보자.
     만약 모든 r에 대해 <$a^r$> = <$a^{\frac{n}{d}}$>이면 <$a^{\frac{n}{d}}$>로 유일할 것이다
     
     |H| = n/gcd(n, r) = d
     -> gcd(n, r) = n/d
         즉, n = (n/d)d, r = (n/d)t, (단, gcd(d, t) = 1)
     선형방정식 원리에 의해, 어떤 정수 x, y가 존재해 dx+ty=1을 만족함
     
     • $<a^r> \subseteq <a^{\frac{n}{d}}>$
       $\forall a^{rk} \in <a^r>$에 대해, (k는 정수)
       $a^{rk}= a^{\frac{n}{d}{tk}} = (a^{\frac{n}{d}})^{tk}$이므로 $a^{rk} \in <a^\frac{n}{d}>$
       즉, $<a^r> \subseteq <a^{\frac{n}{d}}>$
     • $<{a^{\frac{n}{d}}}> \subseteq <{a^r}>$
       $\forall a^{\frac{n}{d}k} \in <{a^{\frac{n}{d}}}>$에 대해, (k는 정수)
       $a^{\frac{n}{d}k} = a^{\frac{n}{d}k(dx+ty)} = a^{nxk}\cdot a^{\frac{ntyk}{d}}$
       = $(a^n)^{xk}\cdot a^{\frac{ntyk}{d}} = e \cdot a^{ryk} = (a^r)^{yk} \in <{a^r}>$
     $<{a^r}>=<{a^{\frac{n}{d}}}>>$이므로, 임의의 위수가 d인 부분군은 $<{a^{\frac{n}{d}}}>$이다.

         따라서 위수가 d인 부분군은 <$a^{\frac{n}{d}}$>로 유일하게 존재한다.