[군론](5)[부분군]

 

subgroup (부분군)

G의 부분집합 H가 G의 연산 *에서 스스로 군이 되는 군 H ($H \le G$)

• 특징
  H는 항상 G의 e를 포함한다
  임의의 subset은 well-defined와 associative를 상속받는다.
  $H<G \Leftrightarrow H \le G \ &\ H \neq G$ (진부분군)

|G|>1인 군은 적어도 2개의 부분군을 포함한다

• trival subgroup(자명 부분군): {e}
• improper subgroup(비고유 부분군): G

 

부분군 판별법 1

공집합이 아닌 G의 부분집합 H가

1. closure: $\forall a, b \in H, \ a*b\in H$
2. inverse: $\forall a \in H, \ a^{-1}\in H$
   을 만족 $\Leftrightarrow$ H는 G의 부분군이다

• 증명 (=>)
  closure, inverse는 이미 증명,
  associative, well-defined도 군 G에서 상속받아 증명됨
  그리고 항등원 $e = a*a^{-1}\in H$이므로, 증명됨
  -> 군의 4개 조건 모두 만족하므로, H는 군이다
• 증명 (<=)
  군의 조건에 의해 모두 다 증명됨

 

부분군 판별법 2

H ≠ ∅, H ⊆ G이고, G가 군일때,
$H \le G \Leftrightarrow \forall a,b \in H, \ a*b^{-1}\in H$

• 증명 (=>)
  H가 군이므로, $\forall b \in H \rightarrow \exists b^{-1} \in H$ (inverse)
  따라서 $a*b^{-1} \in H$ (closure)
• 증명 (<=)
  $a*b^{-1} \in H$에 임의의 원소를 넣어도 성립하는 점을 이용하자!
  1. identity
     $a*b^{-1}=e\in H$으로
     항등원 e가 H에 존재함을 알 수 있음
  2. closure
     $\forall b \in H, \ eb^{-1}=b^{-1}\in H$이고
     $aa^{-1}=a^{-1}a=e$
     즉, $(a^{-1})^{-1}=a$를 이용하면
     $\forall a, b \in H, \rightarrow \forall a, b^{-1} \in H, \ a*b=a(b^{-1})^{-1}\in H$
     -> closure 증명 완료
  3. inverse
     $\forall b \in H, \ e*b^{-1} = b^{-1} \in H$ 이므로,
     모든 b에 대해 역원이 존재한다
  -> 따라서 $a*b^{-1}\in H$이면 H는 G의 부분군이다
  
  
• 예) $n\mathbb{Z}={nk \ | \ k \in \mathbb{Z}}$ (단, n은 고정된 정수)가 <$\mathbb{Z}$, +>의 부분군임을 보이시오
  <ℤ, +>가 군임은 자명하고,
  $n, k \in \mathbb{Z} \Rightarrow nk \in \mathbb{Z}$ 이므로 nℤ는 ℤ의 부분집합이다.
  항상 0이 nℤ 안에 포함되어 있으므로 nℤ는 공집합이 아니다.
      n*0 = 0
  
  1. closure
     $\forall na, nb \in n\mathbb{Z}, \ na+nb = n(a+b)$
     이때, $a+b \in \mathbb{Z}$이므로, $n(a+b) \in \mathbb{Z}$이다.
     -> closed
  2. inverse
     $\forall nk \in n\mathbb{Z}, \ -(nk)=n(-k)$
     $k \in \mathbb{Z} \Rightarrow -k \in \mathbb{Z}$이므로, $-(nk)\in n\mathbb{Z}$이다
     -> 모든 원소 nk에 대해 역원 -nk 존재
  -> 따라서 부분군 판별법 1에 의해 nℤ ≤ ℤ
• 예) $SL_n(\mathbb{R})={A \in M_n(\mathbb{R}) \ | \ det(A) =1} \le GL_n(\mathbb{R})$을 증명하시오
  이전에 $GL_n(\mathbb{R})$(det가 0이 아닌 실수 행렬)이 군인건 증명했고,
  당연하게도 $SL_n(\mathbb{R})$은 $GL_n(\mathbb{R})$의 부분 집합이다.
  또한, 항상 $I_n\in SL_n(\mathbb{R})$ 이므로, 공집합도 아니다.
  -> 따라서 부분군 판별법 2를 사용할 수 있다.
  
  $\forall A, B \in  SL_n(\mathbb{R})$일때,
  det($AB^{-1}$)=det(A)det($B^{-1}$)
  = $det(A)\times \frac{1}{det(B)} = 1\times 1 = 1$
  따라서 $AB^{-1} \in SL_n(\mathbb{R})$이므로, 부분군 판별법 2에 의해 
  $SL_n(\mathbb{R}) \le GL_n(\mathbb{R})$