[군론](2)[군]

군

정의

집합 G와 이항연산 *이 결합된 구조 <G, *>

이떄, 군이 되기 위해선 G, *가 다음 조건을 만족해야 한다

• Closure (닫힘)
  이미 *를 판단할 때 검증이 되어있으나,
  혹시 나중에 부분군에서 실수할 수 있으므로, 알아만 두셈
• Associativity (결합법칙)
  $\forall a, b, c \in G, \ (ab)*c=a(b*c)$
• Identity element (항등원)
  $\forall a \in G, \ ea=ae=a$인 e가 존재해야 함
• Inverse element (역원)
  $\forall a \in G, \ a^{-1}a=aa^{-1}=e$인 $a^{-1}$가 항상 존재해야 함

예) <$\mathbb{Z}$, +>은 group인가?
    1. +가 이항연산자인가?
        +은 정수에 대해 닫혀있고
        잘 정의되었으므로, +은 이항연산자다.
    2. <$\mathbb{Z}$, +>은 군인가?
        결합법칙?
            정수 a, b에 대해, a+(b+c) = (a+b)+c
            따라서 <$\mathbb{Z}$, +>에서 결합법칙은 성립한다
        항등원?
            정수 a에 대해, a+0 = 0+a = a
            -> 항등원 0 존재
        역원?
            정수 a에 대해, a+(-a) = (-a)+a = 0 = e
            이떄, -a도 정수이므로,
            -> 임의의 정수에 대해 역원 존재
    -> 따라서 <$\mathbb{Z}$, +>은 군이다.

 

예) <$\mathbb{Q}$, $\times$>는 군인가?
    1. $\times$는 이항연산자인가?
        $\times$는 유리수 내에서 닫혀있고
        잘 정의되었으므로, $\times$는 이항연산자다.
    2. <$\mathbb{Q}$, $\times$>는 군인가?
        결합법칙?
            유리수 a, b에 대해, a×(b×c) = (a×b×c
            따라서, <$\mathbb{Q}$, $\times$>에서 결합법칙은 성립한다.
        항등원?
            유리수 a에 대해, a×1 = 1×a = a
            -> 항등원 1 존재
        역원?
            0에 대해, 0×? = 1인 ?은 존재하지 않음
            -> 모든 유리수에 대해 역원이 존재하지 않음
    -> 역원이 존재하지 않으므로, <$\mathbb{Q}$, $\times$>는 군이 아니다.

 

아벨군

• 교환법칙이 성립하는 군
  즉, e가 아니더라도 모든 G의 원소들에도 교환법칙이 성립해야 함
  $\forall a,b \in G, \ ab=ba$

예) <$\mathbb{Z}$, +>은 abelian group인가?
    앞에서 <$\mathbb{Z}$, +>은 군이라 밝혔다.
    그럼 아벨군인지도 판단해보자!
    1. 교환법칙이 성립하는가?
        정수에서 a+b = b+a 이므로, 교환법칙이 성립한다.
    -> <$\mathbb{Z}$, +>는 교환법칙이 성립하는 군이므로, 아벨군이다.

 

예) <$GL_n(\mathbb{R})$, $\cdot$>은 group인가?
    ($GL_n(\mathbb{R})={A \in M_n(\mathbb{R}) \ | \ det() \neq 0}$)
    1. $\cdot$이 이항연산자인가?
        $\cdot$은 에 $GL_n(\mathbb{R})$대해 닫혀있고
         잘 정의되었으므로, $\cdot$은 이항연산자다.
    2. <$GL_n(\mathbb{R})$, $\cdot$>은 군인가?
        결합법칙?
            행렬 A, B에 대해, A$\cdot$(B$\cdot$C) = (A$\cdot$B)$\cdot$C
            따라서 <$GL_n(\mathbb{R})$, $\cdot$>에서 결합법칙은 성립한다
        항등원?
            행렬 A에 대해, A$\cdot$$I_n$ = $I_n$$\cdot$A = A
            -> 항등원 $I_n$ 존재
        역원?
            $GL_n(\mathbb{R})$ 내부의 임의의 행렬 A에 대해,
            $A \cdot A^{-1}$ = $A^{-1} \cdot A$ = $I_n$ = e
            이떄, $A^{-1}$도 역행렬이 존재(A)한다
            즉, $det(A^{-1}) \neq 0$이므로, $A^{-1} \in GL_n(\mathbb{R})$이다.
            -> 임의의 원소에 대해 역원 존재
        -> 따라서 <$GL_n(\mathbb{R})$, $\cdot$>은 군이다.
    3. <$GL_n(\mathbb{R})$, $\cdot$>은 아벨군인가?
        교환법칙?
            일반적으로, 행렬 A, B에 대해
            A$\cdot$B $\neq$ B$\cdot$A이므로, 교환법칙은 성립하지 않는다.
            -> 따라서 <$GL_n(\mathbb{R})$, $\cdot$>은 비아벨군이다.