[군론](4)[군 테이블 & 군의 증명 절차]

 

group table

유한군에 대해 항상 group table을 만들 수 있다.

1. 표를 만들고 각 행,열은 군 G의 원소를 나열한다
   단, 맨 처음 행,열은 항등원 e를 적는다
2. 각 표는 해당 행 * 열 의 연산결과를 채워넣는다

예) $\mathbb{Z}_4$의 group table

*	0	1	2	3
0	0	1	2	3
1	1	2	3	0
2	2	3	0	1
3	3	0	1	2

 

성질

latin square

각 행/열은 군의 원소를 "1개씩"만 포함
    순서는 모름. 여러가지 조합이 있을 수 있음

• 증명
  <G = {a, b, c}, *> 가 군이라고 하자. (단, a, b, c는 서로 다른 원소)
  만약 어떤 행에 중복된 결과가 있다고 한다면,
  a * b = a * c 일 것이다.
  by cancellation law, b = c 이 된다
  따라서 b, c가 서로 다른 원소에 모순이 되므로, 같은 행에는 중복이 없다
  그리고 열에서도 동일하게 보일 수 있으므로,
  -> 각 행/열은 군의 원소를 중복해서 포함하지 않는다.

 

symmetry

행렬이 대칭 $\Leftrightarrow$ 아벨군

• 증명
  아벨군 = $\forall a,b \in G, \ ab=ba$ 이므로,
  행렬이 대칭이라는 뜻과 동일하다
     (행*열 = 열*행) <- 행렬이 대칭

Klein 4-group ($V_4$)

|G|=4에서, 항등원 e를 제외한 원소가 위수 2를 가지는 군
$V_4 = {e,a,b,c \ | \ a^2=b^2=c^2=e}$

*	e	a	b	c
e	e	a	b	c
a	a	e	c	b
2	b	c	e	a
3	c	b	a	e

($\mathbb{Z_4}$와 달리 대각 원소에 e밖에 없는 것도 키 포인트다)

 

<G, *>이 군임을 증명하는 절차

다음 4가지를 만족하는지 보면 된다

1. closed? (연산이 군에 대해 닫혔는가?)
   well-defined는 더 큰 집합에서 상속받을 수 있음
2. associative? (결합법칙이 성립하는가?)
   더 큰 집합에서 상속받을 수 있음
   예) $<\mathbb{Z}, +>$에서 결합법칙이 성립하여, $<\mathbb{Z^+}, +>$에서도 결합법칙 성립
3. Identity? (항등원 e가 존재하는가?)
4. Inverse? (모든 원소에 대해 역원이 존재하는가?)

예) $G=\mathbb{R}\backslash {-1}, \ a*b=a+b+ab$일때, <G,\>이 군인지 증명하시오

1. closed?
   $\forall a, b \in G, \ a*b\in \mathbb{R}$임은 자명하다.
   따라서 a \ b≠-1만 보이면 된다!
   if a * b = -1,
       a * b + 1 = 0
       = a + b + ab + 1 = (a+1)+b(a+1) = (a+1)(b+1) = 0
       이때, a,b \in G 이므로, a, b ≠ -1
       따라서, (a+1)(b+1)은 0이 될 수가 없으므로, 모순
       -> a * b ≠ -1
   따라서 $\forall a, b \in G, \ a*b \in G$
   -> closed!
2. well-defined?
   G \subseteq \mathbb{R} 이므로, well-defined는 \mathbb{R}에서 상속받고,
   \mathbb{R}은 well-defined므로, G 또한 만족한다.
3. associative?
   G 안의 임의의 원소 a, b, c에 대해,
   (a*b)*c = (a+b+ab)*c = (a+b+ab)+c+(a+b+ab)c
   = a*(b*c) = a*(b+c+bc) = a+(b+c+bc)+a(b+c+bc)
   이므로, 결합법칙 만족
4. Identity element?
   $\forall a \in G,$ a * e = a 인 e를 찾아보자.
   a * e = a + e + ae = a
   $\Rightarrow$ e + ae = 0
   $\Rightarrow$ e(a+1) = 0
   이떄, a≠-1이므로, e = 0
   -> 항등원 0이 존재한다.
5. Inverse element?
   $\forall a \in G, \ \exists a^{-1}\in G$ 인지 알아보자
   $aa^{-1}=a+a^{-1}+aa^{-1} = e = 0$
   $\Rightarrow a+a^{-1}(a+1)=0$
   $\Rightarrow a^{-1}=\frac{-a}{a+1}$
   이때, $a \in G=\mathbb{R}\backslash {-1}$이므로,
   $a^{-1}=\frac{-a}{a+1} \in G$
   -> 따라서 $\forall a \in G, \ \exists a^{-1}\in G$
   
   따라서 4가지 성질을 만족하므로, <G, *>은 군이다!