[군론](6)[군의 중심 & 군의 합성]

 

군의 중심 Z(G)

Z(G) = {$z \in G \ | \ \forall a \in G, \ zg = gz$}

• Z(G)또한 G의 부분군이다
  Z(G)가 G의 부분집합임은 자명하고,
  eg=ge 이므로, e는 항상 Z(G)에 포함된다
  -> Z(G)는 공집합이 아니다.
  
  a,b\in Z(G) \Rightarrow ag=ga, \ bg=gb \ (단, \ \forall g \in G)
  bg=gb \rightarrow g=b^{-1}gb \rightarrow gb^{-1}=b^{-1}g
  $(ab^{-1})g = a(b^{-1}g) = a(gb^{-1}) = (ag)b^{-1}=(ga)b^{-1}= g(ab^{-1})$
     -> 따라서, ab^{-1} \in Z(G)이다.
  -> 따라서 판별법 2에 의해 Z(G)≤G
  
  
• 만약 G가 아벨군이라면 Z(G)=G다
  1. Z(G)⊆G
     Z(G)에 의해 너무 자명함
  2. G⊆Z(G)
     G에서 임의의 원소 g를 뽑았을 때,
     G는 아벨군이므로, 임의의 G의 원소 x와
     x * g = g * x을 만족하므로,
     G의 모든 원소는 Z(G)에 들어감
     따라서 Z(G) = G

 

군의 합성

만약 H, K ≤ G라면, H∩K≤G이다.

• 증명
  G의 항등원 = e이고, 부분군은 항상 e를 포함하므로, H∩K≠∅이다.
  따라서 부분군 판별법을 쓸 수 있다!
  $a, b \in H \cap K \Rightarrow a, b \in H, K$
  이때, H, K는 각각 G의 부분군이므로,
  $\Rightarrow a*b^{-1} \in H, K$이다.
  즉, $a*b^{-1} \in H \cap K$이므로, H∩K는 G의 부분군이다.

주의) H, K ≤ G -> H∪K≤G은 항상 성립하지 않는다...

• 반례
  G = ℤ, H = 2ℤ, K = 3ℤ일 때,
  H∪K = {0, 2, 4, ...}∪{0, 3, 6, ...} = {0, 2, 3, 4, 6, ...}
  그러나, 2+3 = 5 ∉ H∪K 처럼
  연산이 닫히지 않았으므로, H∪K는 군이 아니고
  당연히 G의 부분군도 아니다...