[군론](3)[군의 법칙 & 위수]

군G 안에서 항등원 e는 유일하다

• 증명
  군 <G, *>가 주어졌을 때,
  항등원이 e, e'가 있다고 해보자,
  e = e * e' = e'
  따라서 항등원은 유일하다

 

군의 각 원소에게 역원은 유일하다

• 증명
  군 <G, *>가 주어졌을 때,
  $a, b, c \in G$이고, b, c가 a의 역원이라 해보자.
  a * b = b * a = e 이고, a * c = c * a = e 이므로,
  b = b * e
  = b * (a * c)
  = (b * a) * c (결합법칙)
  = e * c = c
  즉, b = c 이므로, 역원은 유일하다.

 

역연산

군 G에 대해, $a, b \in G, \ (ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$

• 증명
  $(ab)^{-1}$은 (a \ b)의 역원이다.
  이떄, 군에서 임의의 원소는 유일한 역원을 가지므로,
  $b^{-1}a^{-1}$가 (a \ b)의 역원임을 보이면 $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$가 증명된다!
• $b^{-1}a^{-1}$ \ (a * b)
  = $b^{-1}(a^{-1} * a)b$ = $b^{-1}e * b$ (결합법칙)
  = $b^{-1}b=e$
  따라서 $b^{-1}a^{-1}$은 (a \ b)의 역원이므로,
  $(ab)^{-1}$은 (a \ b)의 역원이다.

 

소거법칙

군 G에 대해, $a, b,c \in G,$

• 왼쪽 소거: $ab = ac \Rightarrow b=c$
• 오른쪽 소거: $ba=ca \Rightarrow b=c$
• 증명 (왼쪽 소거)
  G는 군이므로, a의 역원이 항상 존재한다. ($\exists a^{-1}$)
  $ab = a*c$ 에서 양 변에 같은 값을 연산하면 등호는 변하지 않는다.
  $\Rightarrow a^{-1}(ab)=a^{-1}(ac)$
  $\Rightarrow (a^{-1}a)b = (a^{-1}a)c$ (결합법칙)
  $\Rightarrow eb=e*c $
  $\Rightarrow b=c$
  (오른쪽 소거도 똑같이 증명 가능)

 

선형 방정식의 해법

$\forall a,b \in G$에 대해, $ax=b, \ ya=b$는 유일한 해를 갖는다.

• 증명 (a*x=b의 증명)
  • 해가 존재하는가?
    $a^{-1}(ax)=a^{-1}b$
    $\Rightarrow (a^{-1}a)x = ex = a^{-1}b$
    $\Rightarrow x = a^{-1}b$
    이때, $a^{-1}, \ b\in G$ 이고, *은 G에 대한 이항연산자라서 G에 대해 닫혀있으므로,
    $a^{-1}*b \in G$
    -> 즉, 해당 선형방정식을 만족하는 x를 항상 찾을 수 있다.
  • 그 해가 유일한가?
    해가 x1, x2가 있다고 했을떄,
    a * x1 = a * x2
    by 왼쪽 소거, x1 = x2
    -> 즉, 해당 선형방정식을 만족하는 x는 유일하다.

(단, a*x=b, y*a=b는 비아벨군에서는 해가 다를 수 있다)
    a*x=b: $x = a^{-1}b$
    y\a=b: $y = ba^{-1}$
    이때, 교환법칙이 성립하지 않는 비아벨군이면,
    $x = a^{-1}b \neq y = b*a^{-1}$ 이므로 해가 다르다...
    만약 반대로 아벨군이라면 x=y이겠다!

 

order(위수)

• 군의 위수 (|G|): G 안에 들어있는 원소의 개수
  유한군: |G| = n
  무한군: |G| = $\infty$
• 원소의 위수 (|a|): $a^n=e$를 만족시키는 가장 작은 정수 n
  만약 n이 존재하지 않으면,
  해당 원소 a는 무한의 위수를 가짐
  (정수론 19 참고)