[군론](1)[이항연산]

이항연산

정의

어떤 집합 S 위의 이항연산 *는 SxS에서 S로 가는 사상이다

이때, 연산자 *가 이항연산이 되기 위해선 다음 조건을 만족해야 한다.

• Closure(닫힘): 연산 결과도 S에 들어가야 함
  $\forall a, b \in S, \ a*b \in S$
• well-defined(잘 정의됨): 연산을 하면 무조건 결과가 존재하며, 1개로 나옴
  (a, b) is mapped to exactly one element $\in S$
  참고) well-defined와 단사는 다른것이다.
  well-defined: $a=b \Rightarrow f(a)=f(b)$ (함수의 정의)
  injectivity: $f(a)=f(b) \Rightarrow a=b$

예) 정수에서의 덧셈은 이항연산이다.
    +: $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$일때,
    1. 정수끼리의 덧셈은 정수이므로 +는 정수에 대해 닫힘
    2. 잘 정의됨...
        (둘 다 더 정확하게는 집합론과 페아노 공리계까지 들어가야 함...)
     따라서 정수 덧셈은 이항연산이다

 

예) 자연수에서의 뺄셈은 이항연산이 아니다.
    -: $\mathbb{N} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$일때,
    1. 연산 결과가 자연수에 대해 닫히지 않음
        예) 2 - 5 = -3 $\notin \mathbb{N}$
    2. well-defined는 문제없음
    따라서 자연수에서 뺄셈은 이항연산이 아니다.

 

예) 실수에서의 나눗셈은 이항연산이 아니다.
    ÷: $\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$일때,
    1. 연산 결과가 "나온다면" $\mathbb{R}$ 안에 있으므로 닫혀있음
    2. 그러나, 연산을 했을 때 값 자체가 정의되지 않는 경우가 있으므로 연산 결과가 모두 값 1개씩에 mapping되어야 하는 well-defined는 깨짐
        예) 1 ÷ 0 = ???

 

성질

교환법칙 (commutative)

이항연산자 *가 $ab=ba$를 만족하면, *는 교환법칙이 성립한다고 한다.

 

예) 다음은 commutative 연산이다.
    정수의 덧셈: a+b = b+a
    실수의 곱셈: ab = ba
예) 다음은 Non-commutative 연산이다.
    행렬곱: AB ≠ BA (단 n이 2 이상의 행렬)
    정수의 뺄셈: a-b ≠ b-a

결합법칙 (associative)

이항연산자 *가 $(ab)*c=a(b*c)$를 만족하면, 결합법칙이 성립한다고 함.

 

예) 다음은 associative 연산이다.
    행렬곱: A(BC) = (AB)C
예) 다음은 Non-associative 연산이다.
    벡터외적(cross product): $(\vec{a} \times \vec{b})\times \vec{c} \neq \vec{a} \times (\vec{b}\times \vec{c})$