[정수론](2)[단위원과 피타고라스 세 수]

피타고라스 세 수와 단위원의 관계

a^2+b^2 = c^2에서 c^2로 나눠보자.
(a/c)^2+(b/c)^2=1 즉, x^2+y^2=1인 단위원 위의 점 (a/c, b/c)이다.

 

단위원 위의 유리수 점

단위원 위의 모든 유리수 점의 좌표를 구해보자.
단위원 위의 모든 유리수 점의 좌표는 (-1, 0)을 지나고 기울기가 유리수 m인 y=m(x+1)과 단위원의 교점으로 생각할 수 있다.
x^2+y^2=1에 대입하면,
x^2+(m(x+1))^2=1
=> (x+1)((m^2+1)xm^2-1) = 0
즉, 유리수 점의 좌표는 ((1-m^2)/(1+m^2), (2m)/(1+m^2))에 m을 대입해 얻을 수 있다.
(단, m->무한 인 (-1, 0)만 빼고...)

 

피타고라스 세 수와 단위원 위의 점

m=유리수=v/u (v, u=정수)꼴로 나타낼 수 있다.
이걸 대입하면, 단위원 위의 점 = ((u^2-v^2)/(u^2+v^2), (2uv)/(u^2+v^2))
여기서, 처음에 우리가 c로 나눴던 걸 이용하면
((u^2-v^2)/(u^2+v^2), (2uv)/(u^2+v^2)) = (a/c, b/c)
따라서 (a, b, c) = (u^2-v^2, 2uv, u^2+v^2)
즉, 모든 정수 u, v에 대해 (u^2-v^2, 2uv, u^2+v^2)는 피타고라스 세 수가 된다.