[정수론](1)[피타고라스 세 수]

피타고라스 세 수: a^2+b^2 = c^2를 만족하는 정수(a,b,c)
원시 피타고라스 세 수: 피타고라스 세 수 (a,b,c)에서 a, b, c의 공통된 약수가 없음

 

피타고라스 세 수는 무한한가? -> 참
    피타고라스 세 수 (a,b,c)가 있을 때, 정수 k를 각각 곱하면
    (ka, kb, kc)이고
    (ka)^2+(kb)^2 = (kc)^2
    => k^2(a^2+b^2) = k^2(c^2)이므로 참

 

원시 피타고라스 세 수는 무한한가? -> 참
밑밥깔기

• 추측1: a, b중 하나는 짝수, 나머지는 홀수
  (a, b)가 모두 짝수면 c도 짝수이므로 a, b 둘 다 짝수는 안됨
  (a= 2x+1, b=2y+1)인 홀수라 하면, 홀수^2+홀수^2 = 홀수 + 홀수 = 짝수이므로, c는 짝수 = 2z
  a^2+b^2 = c^2에서 주어진 식을 넣어보면, 2(2x^2+2y^2+2x+2y+1) = 4z^2이다. 이때, 양변을 2로 나누면 홀수 = 짝수이므로 모순 발생
  따라서, a, b중 하나는 짝수, 나머지는 홀수이다.
• 추측2: c는 홀수
  추측 1에 의해 짝수^2+홀수^2=홀수이므로 c는 홀수
  증명
  앞의 증명에 의해 a^2+b^2 = c^2에서 a=홀수, b=짝수, c=홀수이고, a,b,c는 서로소
  이때, a^2 = c^2-b^2 = (c-b)(c+b)로 두자.
  • 만약 c-b, c+b가 공약수를 가진다면?
    c-b = km, c+b = kn이고 c = k(m+n)/2, b = k(n-m)/2이다
    이때, b, c가 서로소이므로 k=1, 2 그러나 a^2 = (c-b)(c+b)=홀수 이므로 k=1
  • 만약 c-b, c+b가 모두 제곱수라면?
    c-b=s^2, c+b=t^2라고 둔다면,
    c = (s^2+t^2)/2, b = (s^2-t^2)/2 이걸 피타고라스 식에 대입하면 a = st가 나온다. 즉, 이런 꼴의 원시 피타고라스 세 수가 계속 만들어진다는 뜻이다.
    => 따라서 원시 피타고라스 세 수는 무한하다.

피타고라스 세 수 정리: 1보다 크고 서로소인 홀수 s>t가 주어진다면 a=st, b=(s^2-t^2)/2, c=(s^2+t^2)/2 으로 원시 피타고라스 세 수가 만들어진다.