[군론](13)[준동형사상에서의 주요 집합]

 

사상에 수반되는 주요 집합들

$\phi$가 homomorphism일 때 다음과 같은 중요한 집합들이 있다
단, $\phi: \ G \to G'$

 

Kernel

$ker(\phi) = {g \in G \ | \ \phi(g) = e'}$

ker(ϕ) ≤ G이다.

• 증명 (부분군 판별법을 써보자...)
  1. $ker(\phi) \subseteq G$?
     이건 이미 kernel의 정의에서 자명함
  2. non-empty?
     $\phi(e) = e'$
     따라서 $e \in ker(\phi)$이므로,
     ker(ϕ)은 공집합이 아님
  3. closure?
     $\forall a, b \in ker(\phi) \Rightarrow \phi(a) = \phi(b) = e'$
     $\phi$가 homo, 따라서, $\phi(ab) = \phi(a)\phi(b) = e'e' = e'$
     $\Rightarrow ab \in ker(\phi)$
  4. inverse?
     $\forall a \in ker(\phi)$
     $\phi$가 homo, 따라서, $\phi(a^{-1}) = [\phi(a)]^{-1} = [e']^{-1} = e'$
     $\Rightarrow a^{-1} \in ker(\phi)$

          따라서, 부분군 판별법에 의해,
          ker(ϕ) ≤ G

 

순환군에서의 kernel

sgn: $S_n \to \mathbb{Z}_2$인 parity 함수를 생각해보자.
짝치환이면 0, 홀치환이면 1

• sgn은 준동형사상이다
  $sgn(\phi\tau) = \begin{cases} 0 & \text{if 같은 parity}\ 1 & \text{if 다른 parity} \end{cases}$
  1. sgn = 0
     $0 +_2 0 = 0$
     $1 +_2 1 = 0$
     즉, $sgn(\phi\tau) = sgn(\phi)+_2sgn(\tau)$
  2. sgn = 1
     $0 +_2 1 = 1$
     즉, $sgn(\phi\tau) = sgn(\phi)+_2sgn(\tau)$
     따라서 연산을 보존하므로, sgn은 homomorphism이다.
• ker(sgn) = $A_n \le S_n$
  
  

단사의 판정

homomorphism $\phi$에 대해, $ker(\phi) = {e} \Leftrightarrow \phi\text{는 단사함수}$

• (<=) 증명
  $\phi: G \to G'$가 단사라고 해보자.
  이때, $\phi(a) = e'$인 어떤 원소 a가 존재한다면,
  $\phi(e) = e'$이므로, $\phi(a) = \phi(e) = e'$
  그러나, $\phi$는 단사함수이므로 $e=a$
  $\Rightarrow ker(\phi) = {e}$
• (=>) 증명
  $ker(\phi) = {e}$라고 해보자.
  이떄, $\phi(a) = \phi(b)$라고 하면
  $\Rightarrow \phi(a)[\phi(b)]^{-1} = \phi(a)[\phi(a)]^{-1} = e'$
  $\phi$가 homo, 따라서, $\phi(ab^{-1}) = e'$
  그러나, $ker(\phi) = {e}$이므로, $ab^{-1} = e$
  $\Rightarrow a = b$
  따라서, $\phi$는 단사함수

즉, 단사를 판정할 떄,

1. 단사의 정의를 써서 판정하기
   f(a) = f(b) => a = b
2. ker = {e}임을 보여 판정하기

 

image

$im(\phi) = \phi(G) = {\phi(g) \ | \ g \in G}$

im(ϕ) ≤ G'이다.

• 증명
  1. $im(\phi) \subseteq G'$?
     이미 정의에서 자명함
  2. non-empty?
     $e \in G, \text{ 따라서, } \phi(e) = e' \in im(G)$
     즉, im(ϕ)는 공집합이 아님
  3. closure?
     $\forall \phi(a),\phi(b) \in \phi(G)$에 대해,
     $\phi$가 homo이므로,
     $\phi(a)\phi(b) = \phi(ab) \in \phi(G)$
  4. inverse?
     $\forall \phi(a) \in \phi(G)$
     $\phi$가 homo이므로,
     $[\phi(a)]^{-1} = \phi(a^{-1}) \in \phi(G)$
  -> 따라서, im(ϕ) ≤ G'

$H \le G, \ \text{then } \phi(H) \le G'$

 

preimage

$K' \le G'$일때, $\phi^{-1}(K') = {g \in G \ | \ \phi(g) \in K'}$

$\phi^{-1}(K') \le G$이다.

• 증명
  1. $\phi^{-1}(K') \subseteq G$?
     이미 정의에서 자명함
  2. non-empty?
     $e \in G, \ \phi(e) = e' \in K',$
     $\text{따라서, } \phi^{-1}(e') = e \in \phi^{-1}(K')$
     즉, $\phi^{-1}(K')$는 공집합이 아님
  3. closure?
     $\forall a, b \in \phi^{-1}(K')$에 대해,
     $\Rightarrow \phi(a), \phi(b) \in K'$
     $\phi$가 homo이므로,
     $\phi(a)\phi(b) = \phi(ab) \in K'$ & $ab \in G$이므로,
     $\Rightarrow ab \in \phi^{-1}(K')$
  4. inverse?
     $\forall a \in \phi^{-1}(K') \Rightarrow \phi(a) \in K'$
     $\phi$가 homo이므로,
     $\phi(a^{-1}) = [\phi(a)]^{-1} \in K'$
     $\Rightarrow a^{-1} \in \phi^{-1}(K')$
  -> 따라서, $\phi^{-1}(K')$ ≤ G'

 

위수의 보존

$|\phi(a)|$는 항상 |a|를 나눈다.

• 증명
  $|a| = n \Leftrightarrow a^n = e$
  $[\phi(a)]^n = \phi(a^n) = \phi(e) = e'$
  따라서, $\phi(a)$의 위수는 항상 n의 약수이다.