[군론](12)[준동형사상]

 

준동형사상 (Homomorphism)

군 $\braket{G, \star}$, $\braket{G', \star'}$에 대해,
$\forall a\in G, \ b \in G' \text{에 대해, }\phi(a \star' b) = \phi(a)\star\phi(b)$를
만족하는 변환 $\phi: G \to G'$

 

homomorphism의 성질

$\phi(e) = G'$의 항등원 (e')

• 증명
  $e \star e = e$
  $\Rightarrow \phi(e \star e) = \phi(e)$
  $\Rightarrow \phi(e) \star' \phi(e) = \phi(e)$
  따라서 $\phi(e)$는 G'의 항등원

$\forall a \in G, \ \phi(a^{-1}) = [\phi(a)]^{-1}$

• 증명
  $a \star a^{-1} = e$
  $\Rightarrow \phi(a \star a^{-1}) = \phi(e)$
  $\Rightarrow \phi(a) \star' \phi(a^{-1}) = \phi(e) = e'$
  이때, 역원은 유일하므로, $\phi(a^{-1}) = [\phi(a)]^{-1}$

$\forall n \in \mathbb{Z}, \ \phi(a^n)=[\phi(a)]^n$

• 증명
  1. n>0일때?
     수학적 귀납법으로 증명 가능
     n=1?
          $\phi(a^1) = (\phi(a))^1 = \phi(a)$
     n=k가 참일때, n=k+1?
         $\phi(a^k) = (\phi(a))^k$가 참이라고 하자.
         $\phi(a^{k+1}) = \phi(a^k \star a) = \phi(a^k)\star' \phi(a)$ (준동형사상의 정의)
         $(\phi(a))^{k+1} = \phi(a^k)\star' \phi(a)$
         따라서, k+1일때도 성립
     -> 수학적 귀납법에 의해 $\phi(a^n)=[\phi(a)]^n$
  2. n=0일떄?
     $a^0 = e$이므로,
     $\phi(e) = e' = [\phi(a)]^0$
  3. n<0일떄?
     n = -m이라 하자 (m은 양의 정수)
     $\phi(a^{-m})=\phi((a^{-1})^m)$ (군의 거듭제곱의 정의)
     이때, m은 양수이므로, n>0일떄 증명한 걸 이용할 수 있음
     $\Rightarrow [\phi(a^{-1})]^{m}$
     위에서 증명한 $\phi(a^{-1}) = [\phi(a)]^{-1}$을 이용하면
     $\Rightarrow [(\phi(a)]^{-1})^{m} = [\phi(a)]^{-m}$

          따라서, 모든 경우에서 $\phi(a^n)=[\phi(a)]^n$가 성립한다.

 

homomorphism의 예시

표준 사영 (natural projection)

$\gamma : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_n$ by $\gamma(m)=m \ (mod \ n)$

• 증명
  $\gamma(a+b) = (a+b)\ (mod \ n)$
  $= (a \ (mod \ n) + b \ (mod \ n))\ (mod \ n)$
  $= \gamma(a)+_n \gamma(b)$
  따라서, $\gamma$는 준동형사상이다.

행렬식 (Det)

det: $GL_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^*$

• 증명
  det(AB) = det(A)det(B)이므로
  따라서 det는 준동형사상이다.