[군론](11)[이면군]

등거리 사상 (isometry / rigid motion)

정n각형에서 형태와 크기를 유지하는 변환

• 회전(r): n개의 유일한 회전
  |$r^k$| = $\frac{n}{\gcd(n,k)}$
  (k칸씩 회전하기)
• 반사(s): n개의 유일한 반사
  |$sr^k$| = 2
  (반사한걸 또 반사하면 원래대로임)

• 반사의 축 구성
  n = 홀수
      반사의 축은 한 꼭짓점을 지남
  n = 짝수
      반사의 축은 두 반대되는 위치의 꼭짓점을 지나거나,
      두 반대되는 위치의 변의 중점을 통과함

 

등거리 사상의 합성

sr = s $\circ$ r 처럼 읽는다 (fraleigh 교재 기준)

 

$r^n = e$
$r^{-k} = r^{n-k}$
    왜냐하면 n번 회전한거는 자기 자신이기 때문

 

sr ≠ rs (교환법칙이 성립 안함)
$sr = r^{-1}s$ (회전을 하고 뒤집으나 뒤집고 반대로 회전하는 거나 같음)
일반적으론 s$r^{k}$ = $r^{-k}$s가 성립
    $sr = rs^{-1}$이딴건 없음 ($s = s^{-1}$이기 때문)

• 증명
  $srs = r^{-1} \Rightarrow (srs)^k = (r^{-1})^k$
  $= (srs)(srs)...(srs)(srs) = sr(ss)r(ss)...r(ss)rs = sr^ks = r^{-k}$
  $\Rightarrow sr^k = r^{-k}s$

 

이면군 (Dihedral group)

정n각형을 자기 자신으로 포개어지게 이동시키는 모든 isometry의 집합
$D_n = {s^i r^j \ | \ i = 0, 1 , \ 0\le j \le n-1} = \braket{r,s|r^n = e, \ s^2=e, \ srs=^{-1}}$
    generator가 2개인 군이다!
    모든 원소는 $r^k$꼴이거나 $sr^k$꼴이다
    (그 이상의 s는 ss=e로 사라짐)

• $|D_n| = 2n$
  n개의 회전, n개의 반사

$D_n$은 군인가?

1. closure?
   $(s^{i_1} r^{j_1})(s^{i_2} r^{j_2})$
   if $i_2 = 0$?
       $s^{i_1}r^{j_1+j_2} \in D_n$이므로 닫힘
   if $i_2 = 1$?
       $s^{i_1} r^{j_1}sr^{j_2} = s^{i_1 -1}(sr^{j_1}s)r^{j_2}$
       $= s^{i_1-1}r^{-j_1}r^{j_2} = s^{i_1-1}r^{-j_1+j_2} \in D_n$
2. associative?
   연산이 함수의 합성이므로 교환법칙이 성립
3. identity element?
   항등연산 (자기 자신) e가 존재
4. inverse element?
   $r^k$꼴일때는
       $(r^k)^{-1} = r^{-k} = r^{n-k} \in D_n$
   $sr^k$꼴일때는
       $(sr^k)^{-1} = r^{-k}s^{-1} = er^{-k}s$
       $= ssr^{-k}s = sr^k \in D_n$

-> 따라서 $D_n$은 군이다.

 

이면군의 중심

군론 6에서 군의 중심 Z(G) = {g | xg=gx, $\forall x \in G$}이라고 했고,
Z(G)는 이면군에서도 찾을 수 있다.

 

반사($sr^k$)는 군의 중심에 포함될 수 있는가?
    임의의 원소 x = r이라 잡으면
    $sr^kr = rsr^k$가 성립해야 함.
    그러나, $sr^{k+1} = sr^{k-1}$
    즉, $r^2 = e$가 되어야 하므로, 일반적일 땐 성립 x
    (n이 2 이하면 성립, 근데 정n각형은 보통 삼각형부터니...)
    -> 반사는 군의 중심이 안됨
회전($r^k$)는 군의 중심에 포함될 수 있는가?
    회전끼리는 지수 연산을 통해 xg=gx가 통한다.
    따라서 반사와 연산할 때만 체크해주면 된다
    x = $sr^i$라 할때, $sr^ir^k = r^ksr^i$를 보여야 함
    $\Rightarrow sr^{i+k} = sr^{-k+i}$
    즉, $r^{2k} = e$여야 함. (즉, $2k \equiv 0 \ (\mod n)$)
    이때, ($0 \le k \le n-1$)이므로,
    2k = 0 or n
    즉, Z(G) = {e, $r^{\frac{n}{2}}$}

 

• n이 홀수
  $Z(D_n) = {e}$
  ($\frac{n}{2}$인 정수가 없음음)
• n이 짝수
  $Z(D_n) = {e, r^{\frac{n}{2}}}$

 

이면군의 예시

• $D_3$ = {$e, \ r,\ r^2,\ s,\ sr,\ sr^2$}
  가장 작은 비아벨군

• $D_4$ = {$e,\ r,\ r^2,\ r^3,\ V,\ H,\ D_1,\ D_2$}