[군론](10)[호환 & 교대군]

호환 (transposition)

길이가 2인 cycle (i, j)

• 특징
  (a, b) = (b, a)
  $(a, b)^{-1} = (b, a)$
     즉, $(a, b)^2 = \iota$
  ι: 항등원
  예) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

하나의 cycle을 transposition의 곱으로 나타낼 수 있다.
$$(a_1,\ a_2,\ ...,\ a_k ) = (a_1,a_k)(a_1,a_{k-1})...(a_1,a_2)$$

참고) 방법은 무한개다
    (1, 2, 3) = (1, 3)(1, 2)
    = (1, 3)(1, 2)ι = (1, 3)(1, 2)(3, 2)(2, 3)

 

짝/홀 치환

하나의 cycle을 나타내는 방법은 ι을 계속 곱하는 방법으로 무한하지만,
ι = (i, j)(j, i)꼴이므로, cycle의 홀수/짝수여부는 변하지 않는다.
(parity is invarient)

• 짝수치환: 짝수번 호환의 곱으로 이루어진 치환
• 홀수치환: 홀수번 호환의 곱으로 이루어진 치환

예) k-cycle은 k-1의 trans로 이루어질 수 있다
    따라서 k=짝수 -> 홀수 치환
               k=홀수 -> 짝수 치환

 

켤례 치환

치환을 서로소인 cycle의 곱으로 분해했을 때, cycle 구조가 같은 두 치환
예) (1, 2)(3, 4)는 (5, 6)(1, 2)와는 켤례지만, (1, 2, 3)이랑은 켤례가 아님님

 

교대군 (Alternating group)

전체 치환 중 모든 짝수 치환을 모은 군
    $A_n \subseteq S_n$

$A_n \le S_n$인가?

즉, $A_n$이 군인가?
군론 5에서 보인 부분군 판별법을 사용해보자.

1. non-empty?
   $\iota \in A_n$
2. closure?
   짝수 x 짝수 = 짝수 이므로
   짝수치환끼리 곱해도 여전히 An 안에 속해있다.
3. inverse?
   $(a_1,\ a_2,\ ...,\ a_k )^{-1} = (a_k,\ a_{k-1},\ ...,\ a_1)$이고, 이걸 호환의 곱으로 나타내면,
   $= (a_k, a_1)(a_k, a_2)...(a_k, a_{k-1})$이 됨
   그리고 trans의 수는 여전히 $(a_1,\ a_2,\ ..., \ a_k )$와 같으므로
   $(a_1,\ a_2,\ ...,\ a_k )^{-1} \in A_n$

따라서 $A_n \le S_n$

 

$A_n$의 크기

$n\ge 2$일때, $A_n$의 크기는 $S_n$의 크기의 절반이다
    즉, $|A_n| = \frac{n!}{2} = \frac{1}{2}|S_n|$

• 증명
  어떤 집합 G에 대한 대칭군 $S_n$이 있을 때,
  모든 짝수치환의 집합 = $A_n$ , 모든 홀수 치환의 집합 = $O_n$이라 하자
  $f: \ O_n \to A_n$인 함수 f를 찾아보자!
  
  $f: \sigma \to (1, 2)\sigma$$라고 하자.
  
  1. f는 well-defined이다
  2. 단사성(injective)?
     f(σ) = f(𝜏)라고 하면,
     (1, 2)σ = (1, 2)𝜏이므로 σ = 𝜏
     따라서, f는 단사함수
  3. 전사성(surjective)?
     $\forall \tau \in A_n$에 대해 (1, 2)σ = 𝜏 인 σ가 $O_n$에 존재함을 보여야 함
     $(1, 2)σ = 𝜏 \Rightarrow (2,1)(1,2)σ = \iota σ = σ = (2,1)𝜏$
     즉, (2, 1)𝜏 가 존재하긴 함.
     이때, $\tau \in A_n$이므로, $(2, 1)𝜏 \in O_n$
     따라서 f는 전사함수

        즉, $f: \ O_n \to A_n$인 전단사함수 f가 존재하므로,
        $|O_n| = |A_n|$
        이때, $S_n$의 원소는 짝치환이거나 홀치환이고,
        어떤 치환도 짝치환이면서 홀치환일 수 없으므로,
        $S_n = A_n+O_n$
       따라서, $|A_n| = \frac{n!}{2}$

 

예) $S_3$의 구조
    $S_3$ = {ι, (1, 2), (2, 3), (1, 3), (1, 2, 3), (1, 3, 2)}
    = {ι, (1, 2), (2, 3), (1, 3), (1, 3)(1, 2), (1, 2)(1, 3)}
    $A_3$ = {ι, (1, 3)(1, 2), (1, 2)(1, 3)} = {ι, (1, 2, 3), (1, 3, 2)}
    $O_n$ = {(1, 2)}

 

케일리의 정리 (Cayley's theorem)

모든 군은 대칭군($S_n$)의 부분군과 동형이다.

(나중에 증명)