[정수론](-)[일반화된 위수]

서로소인 정수 a와 m에 대해서 a^e ≡ 1 (mod m)을 만족하는 가장 작은 지수 e ≥ 1을 em(a)라고 정의한다
a가 m과 n 모두와 서로소이고 gcd(m, n) = 1이라고할 때, emn(a)를 em(a)와 en(a)를 이용하여 나타내어라

 

위수의 성질에 의해
    a^em ≡ 1 (mod m)
    a^en ≡ 1 (mod n)
    a^emn ≡ 1 (mod mn)

 

a^■ ≡ 1 (mod m), a^■ ≡ 1 (mod n)꼴로 만들어서 합치고 싶으므로,
em, en의 최소공배수 lcm을 잡는다.
em * p = en * q = lcm(em, en)
    a^lcm(em, en) ≡ a^(em * p) ≡ (a^em)^p ≡ 1^p ≡ 1 (mod m)
    a^lcm(em, en) ≡ a^(en * q) ≡ (a^en)^q ≡ 1^q ≡ 1 (mod n)
gcd(m, n) = 1 이므로,
a^lcm(em, en) ≡ 1 (mod m) & a^lcm(em, en) ≡ 1 (mod n)
=> a^lcm(em, en) ≡ 1 (mod mn)이다.

 

이때 a^emn ≡ 1 (mod mn) 이므로,
emn = lcm(em, en)이다.