[정수론](17)[이차상호법칙]

이차상호법칙 - 1

홀수 소수 p에 대해 (-1/p)는
    p ≡ 1 (mod 4) 일때 1
    p ≡ 3 (mod 4) 일때 -1

 

증명

• p ≡ 1 (mod 4) 이라면
  p = 4k+1 이고 오일러 판정법에 의해
  -1^((4k+1-1)/2) = -1^(2k) = -1^(짝수)
  따라서 (-1/p) ≡ 1 (mod p)
• p ≡ 3 (mod 4) 라면
  p = 4k+3이고 오일러 판정법에 의해
  -1^((4k+3-1)/2) = -1^(2k+1) = -1^(홀수)
  따라서 (-1/p) ≡ -1 (mod p)

 

이차상호법칙 - 2

홀수 소수 p에 대해 (2/p)는
    p ≡ 1 or 7 (mod 8) 일때 1
    p ≡ 3 or 5 (mod 8) 일때 -1

 

증명
(p-1)/2를 P라고 두겠다.

• p ≡ 3 (mod 8)라면
  p = 8k+3, P = 4k+1
  gcd(2, p) = 1, p = 홀수 소수이므로 가우스 보조정리에 의해
  2, 4, 6, ..., 2P에 있는 음수 나머지의 개수 ≡ (a/p) (mod p)이다.
  즉, 2, 4, ..., 4k || 4k+2, ..., 8k+2에서 오른쪽 부분의 수의 개수이다.
  ((8k+2) - (4k))/2 = 2k+1이므로
  (a/p) ≡ (-1)^(2k+1) (mod p)
  즉, (a/p) = -1이다.
• p ≡ 1 (mod 8)라면
  p = 8k+1, P = 4k
  gcd(2, p) = 1, p = 홀수 소수 따라서 가우스 보조정리에 의해
  2, 4, 6, ..., 2P에 있는 음수 나머지의 개수 ≡ (a/p) (mod p)이다.
  즉, 2, 4, 4k || 4k+2, ..., 8k에서 오른쪽 부분의 개수이다.
  (8k - 4k)/2 = 2k이므로
  (a/p) ≡ (-1)^(2k) (mod p)
  즉, (a/p) = 1이다.
  나머지 7, 5 (mod p)에 대해서도 똑같은 방법으로 증명할 수 있다.

 

이차상호법칙 - 3

홀수 소수 p, q에 대해 (q/p)는
    p ≡ 1 (mod 4) 일때 (p/q)
    p ≡ 3 (mod 4) 일때 -(p/q)
또는 (p/q)(q/p) = (-1)^{((q-1)/2)((q-1)/2)}로 쓸 수 있다.

이것의 증명을 위해선 밑밥이 좀 필요하다...

 

보조정리 2

p는 홀수 소수, a = 홀수, P = (p-1)/2, p가 a를 나누지 않는다면
$$\sum_{k=1}^P{\lfloor{\frac{ka}{p} }\rfloor} \equiv \mu(a, p) \space (mod \ 2) $$
이다.

• 증명
  ka = q_k * p + r_k라고 하자. (단, r_k는 -P~P사이의 값)
  ka/p = q_k + r_k/p 이다. (이때 r_k/p는 -1/2 ~ 1/2 사이의 값)
  q_k는 정수이므로, floor(ka/p)는
      r_k>=0이면 q_k
      r_k<0이면 q_k-1
  따라서 $\sum_{k=1}^P{\lfloor{\frac{ka}{p} }\rfloor}$ = $\sum_{k=1}^P {q_k}$ - (음수인 r_k의 개수)
  가우스 μ함수로 다시 표현하면
  $\sum_{k=1}^P{\lfloor{\frac{ka}{p} }\rfloor}$ = $\sum_{k=1}^P {q_k}$ - μ(a, p)이다.
  양변에 mod 2를 취할 때 q_k가 0과 합동인 것만 보이면 된다.
      ka ≡ q_k\*p+r_k (mod 2)에서 a = 홀수이므로,
      ka ≡ k (mod 2)
      p = 홀수이므로 q_k\*p+r_k ≡ q_k+r_k (mod 2)
      즉, $\sum_{k=1}^P{k} \equiv \sum_{k=1}^P{q_k} + \sum_{k=1}^P{r_k} \ (mod \ 2)$
      보조정리 1에 의해 r_k는 절댓값이 모두 (1\~P)사이의 다른 값으로 나오므로
      결국 부호만 무시하면 시그마 k와 같다는 뜻이다.
      그리고 mod 2에 의해 부호도 +, - 자유자재로 바꿀 수 있으므로,
      결국 $\sum_{k=1}^P{k} \equiv \sum_{k=1}^P{q_k} + \sum_{k=1}^P{k} \ (mod \ 2)$
      즉, $\sum_{k=1}^P{q_k} \equiv 0 \ (mod \ 2)$
  따라서 $ \sum_{k=1}^P{\lfloor{\frac{ka}{p} }\rfloor} \equiv \mu(a, p) \space (mod \ 2) $이다.

 

이차상호법칙 (p/q)(q/p) = (-1)^{((q-1)/2)((q-1)/2)}의 증명

p, q = 홀수인 소수, P=(p-1)/2, Q = (q-1)/2일때,
삼각형 T(q, p)를 잡자.

이때 삼각형의 변 위에 있는 점을 제외한 내부의 정수점을 세어보자.
삼각형의 빗변을 y = qx/p 라고 생각하고 그 밑의 점을 세면

즉, $ \sum_{k=1}^P{\lfloor{\frac{kq}{p} } \rfloor} $ 가 된다.

삼각형 T(p, q)에 대해서도 동일하게

$ \sum_{k=1}^Q{\lfloor{\frac{kp}{q} } \rfloor} $ 이다.

이 두 삼각형을 합친 직사각형의 정수점 개수는 floor(p/2)*floor(q/2) = P*Q
보조정리 2에 의해, 두 삼각형의 정수점 개수를 μ로 표현한다면,
P*Q ≡ μ(q, p) + μ(p, q) (mod 2)

그리고 가우스 판정법에 의해
(p/q)(q/p) ≡ (-1)^μ(p, q)*(-1)^μ(q, p) ≡ (-1)^(μ(p, q) + μ(q, p)) (mod 2)
즉, (p/q)(q/p) ≡ (-1)^(PQ)가 된다.