[정수론](-)[보조정리 2에서 a=짝수인 경우]

 

정수론 17 의 보조정리

$$\sum_{k=1}^P{\lfloor{\frac{ka}{p} }\rfloor} \equiv \mu(a, p) \space (mod \ 2) $$
얘는 p가 홀수 소수이고 a가 홀수일 때만 성립한다.
따라서 a가 짝수 버전도 증명해보자.

p는 홀수인 소수이고, P = (p-1)/2이라 하자. 또한 a는 p로 나누어지지 않는 짝수인 정수라고 하자. 다음 식을 보여라: 시그마 1~P (⌊ka/p⌋) ≡ (p^2−1)/8 + µ(a, p) (mod 2).

먼저 ⌊kap⌋를 정리해보자.
ka = p*q + r 이라고 하자 {0<=r<1}
ka/p = q + r/p
⌊ka/p⌋ =
    r >= 0: q
    r < 0: q - 1
즉, 나머지가 음수가 나오는 개수 (= µ의 정의) 만큼 -1 해주면 된다.
따라서 $$\sum_{k=1}^P{\lfloor{\frac{ka}{p} }\rfloor} \equiv \sum_{k=1}^{P}{p_k} -\mu(a, p) \space $$이후 양변에 mod 2를 취하면 부호는 막 바꿔도 상관 없다.
( 1 ≡ -1 (mod 2))
$$\sum_{k=1}^P{\lfloor{\frac{ka}{p} }\rfloor} \equiv \sum_{k=1}^{P}{p_k} +\mu(a, p) \space $$

 

 

이제 mod 2에서 시그마 pk를 연산해보자.
ka = p*q + r이라고 정의했으므로,
ka ≡ p*q + r (mod 2)
이때, a = 짝수, p = 홀수인 소수이므로,
0 ≡ q + r (mod 2)
즉, q ≡ r (mod 2)
$$\sum_{k=1}^P{q_k} \equiv \sum_{k=1}^{P}{r_k} \space (mod \ 2) $$

그리고 보조정리 1 "p = 홀수 소수, gcd(a, p) = 1일때 a, 2a, ..., Pa를 p로 나눈 나머지를 -P~P 범위 사이에서 선택하면 각각의 나머지의 절댓값은 겹치지 않는다." 에 의해
r은 1, 2, 3, ..., P의 재배열로 겹치지 않게 나올 것이고, 부호는 mod 2니까 중요하지 않다.

 

따라서
$$\sum_{k=1}^P{p_k} \equiv\sum_{k=1}^P{r_k} \equiv 1+2+...+P \equiv \frac{P(P+1)}{2} \equiv \frac{p^2-1}{8} \space (mod \ 2) $$

정리하자면
$$\sum_{k=1}^P{\lfloor{\frac{ka}{p} }\rfloor} \equiv \frac{p^2-1}{8} +\mu(a, p) \space (mod \ 2) $$