[정수론](-)[펠 방정식 증명 문제]

펠 방정식 x^2 − 11y^2 = 1의 모든 해는 10 + 3√11을 거듭제곱하여 얻을 수 있음을 증명하여라.

 

무한강하법 증명

 

삼각-사각수를 증명할 때 썼던 무한강하법으로 증명해보자
음수해는 양수해에 -만 붙이면 되므로 양수해에 대해서만 증명하면 된다.

 

임의의 해 u, v가 있다고 하자.
만약 u = 10이면? => (10, 3)으로 참

 

만약 u > 10 이라면?
어떤 수 s, t에 대해
u + v√11 = (10 + 3√11)*(s+t√11) 로 나눌 수 있다.
이때 s가 다음 조건을 만족하면 무한강하법을 쓸 수 있다.

1. s, t가 양의 정수인가?
   • 정수 증명
     (10 + 3√11)*(s+t√11) = (10s + 33t) + (3s + 10t)√11
     즉, u = 10s - 33t, v = 3s + 10t
     식을 정리하면 s = 10u - 33v, t = -3u + 10v
     즉, s, t는 정수다.
   • 양수 증명
     u^2 = 11v^2 + 1 > 11v^2 이므로,
     u > v√11이다.
     따라서 10u > 10√11v > 33v이므로
     s > 0
   • u > 10 이므로 u^2 > 100
     100u^2 > 99u^2 + 100 <- u^2 - 1 꼴로 만들어 v^2로 치환하자!
     100 * (u^2 - 1) > 99u^2
     100*11v^2 > 99u^2
     v > 3/10u
     즉, t > 0
     즉, s, t는 양의 정수이다.
2. s, t가 펠 방정식의 해인가?
   s, t를 직접 대입하면
   (10u -33v)^2 - 11(-3u + 10v)^2
   = 100u^2 - 660uv + 1089v^2 - 11( 9u^2 - 660uv + 100v^2)
   =u^2 - 11v^2 = 1
   따라서 s, t는 펠 방정식의 해다.
   
   
3. u > s 인가?
   u > 10u - 33v
   = 11v > 3u
   1번에서 구한 바로는 10v > 3u이므로
   11v > 10v > 3u
   따라서 u > s

1, 2번에 의해 s, t는 방정식의 조건을 만족하고
3번을 통해 s가 u보다 작은 새로운 해 임을 알게 되었다.
이떄 더 작은해 s를 무한히 만들 수 있으므로 무한강하법을 쓸 수 있다.

 

무한강하법에 의해 나누다보면 언젠가
u + v√11 = (10 + 3√11)^k 꼴로 나타날 수 있다.
따라서 모든 해 u, v가 10 + 3√11을 거듭제곱해 얻을 수 있다.

 

펠 방정식 증명 방법

 

xk, yk를 (10 + 3√11)^k 로 얻어진 값이라고 할 때,
임의의 해 u, v가 xk, yk만으로만 나타난다면 주어진 문제는 증명된다.
편의상 z = 10 + 3√11 라고 하고, r = u + v√11 라고 두겠다.
r이 언제나 z^k 라면 증명된다!

 

z >= 1인건 너무 자명하고,
어떤 수 k에 대해 z^k < r < z^(k+1)일 것이다.
즉, 1 <= z^(-k) * r < z 이다.

 

z의 정의를 이용하면 xk + yk√11 = z^k이다.
그리고 방정식 xk^2 - 11 yk^2 = 1 에서 인수분해하면
(xk + yk√11)*(xk - yk√11) = 1 = z^k * z^(-k)
즉, xk - yk√11 = z^(-k)

 

z^(-k) * r = (xk - yk√11) * (u + v√11)
= (u*xk + 11v*uk) + (-u*yk + v*xk)√11
이때 s = u*xk + 11v*yk, t = -u*yk + v*xk 라고 두겠다.

 

s, t가 만족하는 해인가?

• 방정식의 해인가?
  s, t를 직접 펠 방정식에 대입하면,
  u^2xk^2 + 22uvxkyk + 121v^2yk^2 - 11 * (u^2yk^2 - 2uvxkyk + v^2xk^2)
  = u^2 * (xk^2 - 11yk^2) + 11v^2 * (11y^k - xk^2)
  = u^2 - 11v^2 = 1
  즉, 펠 방정식의 해이다.
• 음이 아닌 해인가?
  1 <= z^(-k) * r < z 조건을 이용하면
  1 <= s + t√11 < z 이다.
  • 만약 s<0, t<0 ?
    1 <= s + t√11 이므로 모순
  • 만약 s>=0, t<0 ?
    1 <= s + t√11 < s - t√11
    그러나 s, t는 펠 방정식의 해이므로
    s^2 - 11t^2 = 1 이다.
    따라서 모순.
  • 만약 s<0, t>=0 ?
    1 <= s + t√11 < -s + t√11
    그러나 s, t는 펠 방정식의 해이므로
    -s^2 + 11t^2 = -1 이다.
    따라서 모순.
    따라서 s, t >= 0 밖에 안됨.

만약 s, t > 0이라면?
가장 작은 해가 10, 3이므로,
s >= 10, t >= 3일 것이다.

따라서 s + t√11 >= 10 + 3√11 = z
그러나 앞에서 s + t√11 < z 라 했으므로, 모순

 

따라서 s, t는 적어도 1개는 0이어야 한다.
그리고 그 해는 s = 1, t = 0이다.
즉, z^(-k) * r = 1이라는 소리고,
r = z^k 라는 말이다.

 

따라서 모든 임의의 해 u, v에 대해
u + v√11 이 z^k = (10 + 3√11)^k 로 표현되므로 증명된다.