[정수론](-)[디리클레의 디오판토스 근사 제 2형식]

 

디리클레의 디오판토스 근사형식 - 제 2형식: a > 0 인 무리수 a에 대해 | x - ya | < 1/y인 무한히 많은 양의 정수 순서쌍 (x, y)가 존재한다.

 

보여야 할 것이 총 3가지로
    어떤 해 x, y가 | x - ya | < 1/y 인가?
     x, y가 무한히 많이 나오는가?
     x, y가 양의 정수인가?

• x, y가 | x - ya | < 1/y 인가?
  적당히 큰 수 Y에 대해
  0a, 1a, ..., Ya를 정수부 N, 소수부 F로 나눠보자
  단, N >= 0, 0 <= F < 1 이다.
      0a = N0 + F0
      1a = N1 + F1
      ...
      Ya = NY + FY
  이떄 비둘기를 F로 두자. -> Y+1개
  그리고 0~1을 Y등분한 구간을 비둘기 집으로 두면 -> Y개
  비둘기 집의 원리에 의해 적어도 2개의 비둘기가 같은 집에 있다.
  즉, Fm, Fn이 같은 구간에 들어있다.
  즉, | Fm - Fn | < 1/Y 이다.
  
  m, n의 크기는 상관 없으므로, m>n이라 하겠다.
  | Fm - Fn | = | ma - Nm - na + Nn |< 1/Y
  = | - (Nm - Nn) + (m - n)a | = | (Nm - Nn) - (m - n)a | < 1/Y
  이때 (Nm - Nn) = x, (m - n) = y라고 두겠다.
  0 <= n < m <= Y이므로 y = m-n < Y
  따라서, 1/y > 1/Y
  즉, | x - ya | < 1/Y < 1/y 이므로
  x, y는 | x - ya | < 1/y를 만족한다.
  
  
• x, y가 무한히 많이 나오는가?
  x, y가 유한하다고 가정하자.
      그렇다면 부등식을 만족하는 가장 작은 해 x', y'이 존재할 것이다.
       | x' - y'a | < 1/Y 를 만족할 것이다.
       그러나 1/Y' < | x' - y'a | 인 새로운 수 Y'을 잡는다면
       | x'' - y''a | < 1/Y'을 만족하는 새로운 수 x'', y''이 나올 것이고,
       | x'' - y''a | < 1/Y' < | x' - y'a | < 1/Y 이므로,
       x', y'가 가장 작은 해라는게 거짓이 되므로 모순이다.
  따라서 x, y는 무한히 많이 나온다.
  
  
• x, y가 양의 정수인가?
  x = Nm - Nn, y = m - n 이고
  Nm, Nn, m, n 은 정수이므로,
  x, y는 정수이다.
  
  y = m-n > 0 이므로 y > 0
  m > n이므로 ma > na
  즉, Nm + Fm > Nn + Fn
  N >= 0이므로 경우의 수가
      Nm > Nn 이거나
      Nm = Nn && Fm > Fn
  if Nm = Nn?따라서 Nm > Nn 이다.
      | 0 - ya | = ya < 1/y
      즉, a < 1/y^2
      그러나, y는 무한히 많이 나올 수 있으므로,
      특정 y를 넘어가면 a가 거짓이 된다
      따라서 모순
  즉, x = Nm - Nn > 0이다.
  
  따라서 x, y는 양의 정수이다.

이걸로 디리클레의 디오판토스 근사 제 2형식이 증명된다.