[정수론](-)[일반화된 펠 방정식의 해]

mod D를 취하고 QR문제로 바꾸자
만약 mod D에서 해가 없으면 펠 방정식의 해는 없음

 

방정식에 대하여, 양의 정수해 (x, y)를구하거나 혹은 왜 해가 존재하지 않는지 설명하여라.
(a) x^2 − 11y^2 = 7
(b) x^2 − 11y^2 = 433

x^2 − 11y^2 = 7

만약 x^2 − 11y^2 = 7 의 해가 존재한다면
x^2 − 11y^2 ≡ 7 (mod 11) 또한 참일 것이다.
즉, 대우명제를 취하면,
x^2 − 11y^2 !≡ 7 (mod 11) => x^2 − 11y^2 = 7 의 해가 존재안함

x^2 − 11y^2 ≡ x^2 ≡ 7 (mod 11)
그러나, 7은 mod 11에서 NR이므로
식을 만족하는 x는 존재하지 않는다.

따라서 해가 없음

x^2 − 11y^2 = 433

x^2 − 11y^2 !≡ 433 (mod 11) => x^2 − 11y^2 = 433 의 해가 존재안함

x^2 − 11y^2 ≡ x^2 ≡ 433 ≡ 4 (mod 11)
4는 mod 11에서 QR이므로
따라서 해가 있을 수도 있다.

직접 하나하나 대입해보면 (42, 11)이 나온다.