[해석학](27)[함수의 미분]

미분

$f'(c) = \lim\limits_{x \to c}{\frac{f(x)-f(c)}{x-c}}$

$\Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \ \exists \delta > 0,$

$0<|x-c|<\delta \Rightarrow |\frac{f(x)-f(c)}{x-c} - f'(c)|<\epsilon$

성질들

f가 미분가능 => f는 연속

•ALT

(f+g)' = f' + g'

$(fg)' = f'g+fg'$

$(\frac{f}{g})' = \frac{f'g + fg'}{g^2}$

$g\circ f = g'(f) \times f'$

극값에서 f'(x) = 0 (IET)

•증명

극댓값 c에 대해,

c근처 x에 대해, f(x)$\le$f(c)

x>c면, $\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \le 0 \to \lim\limits_{x \to c^+}{\frac{f(x)-f(c)}{x-c}}\le 0$

x<c면, $\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \ge 0 \to \lim\limits_{x \to c^-}{\frac{f(x)-f(c)}{x-c}}\ge 0$

즉, $f'(c) \le 0$이면서 $f'(c)\ge 0$

-> f'(c) = 0

롤의 정리

f가 [a, b]에서 연속이고 (a, b)에서 미분 가능, f(a) = f(b)면

f'(c) = 0인 $\exists c \in (a,b)$

평균값 정리 (MVT)

f가 [a, b]에서 연속이고 (a, b)에서 미분 가능,

$\exists c \in (a,b) \ s.t. \ f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

즉, 롤의 정리에서 더 일반화

일반화된 평균값정리 (generalized MVT)

f가 [a, b]에서 연속이고 (a, b)에서 미분 가능, (a, b)에서 $g'(x) \neq 0$일떄,

$\exists c \in (a,b) \ s.t. \ \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

즉, 평군값 정리에서 더 일반화

Darboux 정리

f가 [a, b]에서 미분 가능이고 $f'(a) \le L \le f'(b)$일떄,

$\exists c \in (a,b) \ s.t. \ f'(c) = L$

즉, 사잇값 정리가 미분에서도 작용

로피탈 정리

f, g가 c 근처에서 미분 가능하고, f(c) = g(c) = 0, $g'(x)\neq 0$일떄,

$\lim\limits_{x \to c}{\frac{f'(x)}{g'(x)}} = L$로 존재한다면...

$\lim\limits_{x \to c}{\frac{f'(x)}{g'(x)}} = \lim\limits_{x \to c}{\frac{f(x)}{g(x)}} = L$

로피탈 정리 막 쓰면 안된댔지!

•예) $x \sin\frac{1}{x}$의 0에서의 극한값?

로피탈로 풀 경우

$\frac{x^2 \sin\frac{1}{x}}{x}$로 보면 어떨까?

x, $x^2sin(1/x)$ 모두 0으로 가는데?

$\lim\limits_{x \to 0}{\frac{x^2 \sin\frac{1}{x}}{x}} = \lim\limits_{x \to 0}{\frac{2x \sin\frac{1}{x} - \cos{\frac{1}{x}}}{1}} = \lim\limits_{x \to 0}{-\cos{\frac{1}{x}}} = ?$

미분값이 없는데??

$\frac{f'}{g'}$가 <span style="color:rgb(255, 0, 0)">존재하지 않을 때</span>는 로피탈 쓰면 안됨!!!!

그냥 풀 경우

$|x \sin{\frac{1}{x}}| \le |x| \to 0$

조임 정리에 의해 $\lim{x\sin\frac{1}{x}} = 0$으로 존재

예시들