[해석학](26)[osilation]

$G_{\delta}, \ F_{\sigma}$ 집합

•$G_{\delta} = \bigcap\limits^{\infty}{O_n}$

즉, open set의 countable 교집합

•$F_{\sigma} = \bigcup\limits^{\infty}{C_n}$

즉, closed set의 countable 합집합

-> open: 무한 합집합도 open, closed: 무한 교집합도 closed인데 이건 반대임

--> 따라서, open, closed 여부는 모름

•$(G_{\delta})^C = F_{\sigma}$

•증명) G가 $G_{\delta}$일때,

$G = \bigcap\limits^{\infty}{O_n}$

$G^C = (\bigcap\limits^{\infty}{O_n})^C = \bigcup\limits^{\infty}{O_n^C} = \bigcup\limits^{\infty}{C_n}$

참고) 베르의 정리에 의해

유리수에서 연속이고 무리수에서 불연속인 함수는 존재하지 않음

-> tomae의 함수: 유리수에서 불연속, 무리수에서 연속

osillation

$f: A \to \mathbb{R}, \ c \in A$일떄,

$\alpha_f(c) = \lim\limits_{\delta \to 0}{[Sup(f(x) \ | \ x \in V_{\epsilon}(c)\cap A) - inf(f(x) \ | \ x \in V_{\epsilon}(c)\cap A)]}$

즉, 임의의 범위에서 함숫값의 sup, inf 차이다

•$\alpha_f(c)$는 c에서의 불연속성을 측정한다

$\alpha_f(c)$ = 0 : 연속임

$\alpha_f(c) > 0$ : 불연속임

불연속/연속 점의 집합

f: $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$에 대해,

불연속 점의 집합 $D_f: F_{\sigma}$

연속 점의 집합 $\mathbb{R}/D_f : G_{\delta}$

•증명

$D_n = \{x \in \mathbb{R} \ | \ \alpha_f(x) \ge \frac{1}{n}\}$로 잡자.

1.$D_f = \bigcup\limits^{\infty}{D_n}$?

$x \in D_f$라고 한다면,

즉, x는 불연속점

$\alpha_f(x) > 0$

by 아르키메데스 원리, $\exists N > 0 \ s.t. \ \alpha_f(x) > \frac{1}{N}>0$

즉, ,$x \in D_N \Rightarrow x \in D_n$

-> $D_n \subseteq \bigcup D_n$

$y \in \bigcup D_n$이라고 한다면

$y \in D_{i}$이므로, $\alpha_f(y) \ge \frac{1}{i} > 0$

즉, y는 불연속점임 $\Rightarrow y \in D_f$

-> $\bigcup D_n \subseteq D_f$

따라서, $\bigcup D_n = D_f$

2.$D_n$ 은 closed set?

$D_n^C = \{x \in \mathbb{R} \ | \ \alpha_f(x) < \frac{1}{n}\}$를 생각해보자.

$\forall p \in D_n^C, \ \alpha_{f}(p) < \frac{1}{n}$

$\alpha_f(p)<\frac{1}{n}$이므로, 적절한 r값을 잡아

$(p-r, p+r)$에서의 함수값의 오차가

$\frac{1}{n}$보다 작아질 수 있게 할 수 있다.

$\forall q \in (p-r, p+r)$를 생각해보면

$\alpha_f(q) < \frac{1}{n}$

즉, q도 $D_n^C$의 조건을 만족한다.

-> 반경 (p-r, p+r)안에 있는 임의의 점 q에 대해 성립하므로,

$(p-r, p+r)\subseteq D_n^C$

open set의 정의에 따라, $\exists r > 0, \ V_r(x) \subseteq D_n^C$이므로,

$D_n^C$는 open set이다

-> open set의 여집합 = closed set이므로,

따라서 $D_n$은 closed set이다.

-> $D_f = \bigcup\limits^{\infty}{C_n}$이므로, $F_{\sigma}$이다.