[정수론](-)[(p-1)! = p-1 (mod p)]

모든 소수 p에 대해 (p-1)! = p-1 (mod p)인가?

• p = 2에서 증명
  1 = 1 (mod 2) 이므로 참
• p = 3에서 증명
  2 = 2 (mod 3) 이므로 참
• p > 3에서 증명
  선형합동방정식의 정리에 의해 ax ≡ b (mod m), gcd(a, m) = 1일때
  유일한 해를 가진다. (x=bu/g, au+mv=1)
  (p-1)! (mod p)에서도 p-1, p-2, ... 1은 모두 p와 서로소 관계이다.
  따라서 aa' ≡ 1 (mod p)인 a'도 0~p-1 범위 내에 유일하게 가진다.
  이때 특수한 경우인 x^2 ≡ 1 (mod p)를 만족하는 x = 1, p-1 말고 나머지는 2~p-2가 짝수개이므로
  서로 짝지을 수 있다.
  a ≡ b (mod m1), a ≡ b (mod m2)⇒ a1a2 ≡ b1b2 (mod m)이므로 다 취합한다면
  (p-1)! ≡ (p-1)*(1*1*1*1*1...)*1 ≡ p-1 (mod p)
  따라서 (p-1)! = p-1 (mod p)이다.