[정수론](22)[사각-삼각수]

삼각수

삼각형으로 배열했을 때 총 점의 갯수

  .
 . .   <- 이 삼각형의 점의 수
. . . 

1, 1+2, 1+2+3, ... 으로 표현된다.
n번째 삼각수 = n(n+1)/2

 

사각수

사각형으로 배열했을 때 총 점의 갯수

. . .
. . .  <- 이 사각형의 점의 수
. . .

1^2, 2^2, 3^2, ... 으로 표현된다.
n번째 사각수 = n^2

 

사각-삼각수

사각수이며 삼각수인 수
(단, 몇번쨰인진 따지지 않는다.)
    예) 36은 6번째 사각수이자 8번째 삼각수이다.
n^2 = m(m+1)/2을 풀어서 구할 수 있다.
    양변에 8을 곱해 식을 정리하면
    8n^2 = 4m(m+1) = (2m+1)^2 - 1
    x = 2m+1, y = 2n으로 치환하면,
    x^2 - 2y^2 = 1 로 변형 가능하다.

 

사각-삼각수 정리

부정방정식의 해 m, n을 m = (x-1)/2, n = y/2로 구할 수 있다.
그리고 모든 삼각수의 해를 만드는 x, y는
$u+v\sqrt{2} \ = x_k+y_k\sqrt{2} \ = (3+2\sqrt{2})^k$
를 통해 구할 수 있다.
증명

• 만약 u= 3이라면?
  (u, v) = (3, 2)로, 가장 작은 해가 된다.
• 만약 u>3이라면?
  유리수 s, t가 존재해
  u + v$\sqrt{2}$ = (s + t$\sqrt{2}$)(3 + 2$\sqrt{2}$) 로 나타낼 수 있다.
  이때
      s, t 가 양의 정수
      s^2 - 2t^2 = 1
      s<u 
  라면 무한강하법에 의해 증명 가능하다.
  1. s, t가 양의 정수인가?
     (s + t$\sqrt{2}$)(3 + 2$\sqrt{2}$)를 정리하면
     (3s + 4t) + (2s + 3t)$\sqrt{2}$
     즉, u = 3s+4t, v = 2s+3t이다.
     -> s = 3u-4v, t = -2u+3v
     정수+정수 = 정수이므로, s, t는 정수다.
     
     u^2 = 1+2v^2 > 2v^2 이고, u, v는 양의 정수이므로,
     u > v$\sqrt{2}$
     따라서 s = 3u-4v > 3$\sqrt{2}$v - 4v > 0이므로 s > 0
     u > 3이므로,
     u^2 > 9 -> 9u^2 > 9+8u^2 -> 9(u^2-1) > 8u^2 -> u^2-1 > 8/9u^2
     -> 2v^2 > 8/9u^2 -> v > 2/3u
     t = 3v - 2u 이므로 따라서
     t > 0
     따라서 s, t는 양의 정수이다.
  2. s^2 - 2t^2 = 1인가?
     ^2 - 2t^2 = (3u-4v)^2 - 2(-2u+3v)^2
     = u^2 - 2v^2 = 1
     따라서 s^2 - 2t^2 = 1
  3. s<u인가?
     u = 3s+4t 이고, s, t > 0이므로
     u > s이다.
     
     이제 강하법을 사용해보자.
     u > 3일때 무한히 (s + t$\sqrt{2}$)(3 + 2$\sqrt{2}$) 꼴로 나눌 수 있으므로,
     결국 나누다보면 $u-v\sqrt{2}$를 (3 + 2$\sqrt{2}$)^k로 나타낼 수 있다는 것이다.
     따라서 모든 해를 만드는 u, v는 (3 + 2$\sqrt{2}$)^k로 구할 수 있다.